[논문 리뷰] Repeated Fair Allocation of Indivisible Items

Ayumi Igarashi, Martin Lackner외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 04. 04.

Game Theory and Voting SystemsEconomics, Econometrics and Finance인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 불가분 물건과 일상품의 반복적인 공정 분배를 위한 새로운 모델을 제안하며, 반복 횟수가 참여자 수의 배수일 경우 비례성과 파레토 최적 분배가 항상 존재함을 보여준다. 두 명의 참여자와 짝수 개의 라운드인 경우, 환경 없음 및 파레토 최적의 순서를 달성할 수 있으며, EF1 또는 한 개의 항목을 고려한 약한 환경 없음과 같은 강력한 라운드별 공정성 보장을 갖춘다.

ABSTRACT

The problem of fairly allocating a set of indivisible items is a well-known challenge in the field of (computational) social choice. In this scenario, there is a fundamental incompatibility between notions of fairness (such as envy-freeness and proportionality) and economic efficiency (such as Pareto-optimality). However, in the real world, items are not always allocated once and for all, but often repeatedly. For example, the items may be recurring chores to distribute in a household. Motivated by this, we initiate the study of the repeated fair division of indivisible goods and chores, and propose a formal model for this scenario. In this paper, we show that, if the number of repetitions is a multiple of the number of agents, there always exists a sequence of allocations that is proportional and Pareto-optimal. On the other hand, irrespective of the number of repetitions, an envy-free and Pareto-optimal sequence of allocations may not exist. For the case of two agents, we show that if the number of repetitions is even, it is always possible to find a sequence of allocations that is overall envy-free and Pareto-optimal. We then prove even stronger fairness guarantees, showing that every allocation in such a sequence satisfies some relaxation of envy-freeness. Finally, in case that the number of repetitions can be chosen freely, we show that envy-free and Pareto-optimal allocations are achievable for any number of agents.

연구 동기 및 목표

• 반복적 불가분 항목 분배를 위한 새로운 모델을 체계화하여, 라운드별 및 총합 공정성 및 효율성 기준을 구분한다.
• 분배 시퀀스 전반에 걸쳐 공정성(환경 없음, 비례성)과 효율성(파레토 최적성)이 동시에 달성될 수 있는지 탐구한다.
• 반복 횟수가 고정되거나 변동 가능한 경우, 공정성과 효율성 간의 상호 교환 관계를 탐색한다.
• 특히 두 명의 참여자 또는 반복 횟수가 변동 가능한 임의의 참여자 수에 대해 환경 없음 및 파레토 최적 순서가 존재하는 조건을 규명한다.
• 분수 및 확률적 분배를 이론적 도구로 활용하여 불가분 및 가분 공정 분배 간 격차를 메우는 데 기여한다.

제안 방법

• 반복 분배에 대한 체계적 모델을 제안하며, 전체 및 라운드별로 공정성과 효율성을 평가하는 분배 시퀀스를 고려한다.
• 분수 또는 확률적 분배를 이산 분배 시퀀스로 변환하기 위한 '반복적 이동' 개념을 도입한다.
• 분수 분배를 이론적 기초로 삼으며, 분수 설정에서의 파레토 최적성과 환경 없음이 반복 이산 설정에서 해당 성질을 유도함을 증명한다.
• 레마 21을 적용하여, 임의의 환경 없음 및 파레토 최적 분수 분배는 라운드별 PROP[1,1] 보장을 갖는 확률적 분배로 구현될 수 있음을 보인다.
• 유리수 확률을 갖는 확률적 분배를 유한한 라운드 수 동안 이산 분배 시퀀스로 변환하는 번역 메커니즘을 활용한다.
• 가분 공정 분배와의 연결 고리를 활용하여, 반복 횟수가 변동 가능한 경우, 파레토 최적성 및 환경 없음 분수 분배의 존재가 반복 분배 시퀀스의 파레토 최적성 및 환경 없음 존재를 암시함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전체적으로 환경 없고 파레토 최적일 수 있는 분배 시퀀스가 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 반복 분배에서 강력한 라운드별 공정성 보장(예: EF1 또는 한 개의 항목을 고려한 약한 환경 없음)을 전체 파레토 최적성과 함께 달성할 수 있는가?
• RQ3 반복 횟수가 고정되어 있을 경우, 환경 없음 및 파레토 최적성을 달성하는 것이 가능한가?
• RQ4 반복 횟수를 선택할 수 있는 능력이 강력한 공정성 및 효율성 보장 달성 가능성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 가분 및 불가분 공정 분배 간의 연결 고리를 활용하여 원하는 성질을 갖는 반복 분배를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 반복 횟수 $k$ 가 참여자 수 $n$ 의 배수일 경우, 항상 비례성과 파레토 최적성 분배 시퀀스가 존재한다.
• 참여자 수 $n > 2$ 이고 $k$ 가 $n$ 으로 나누어떨어지지 않을 경우, 전체 비례성 분배가 존재하지 않을 수 있으며, 이는 배수 조건의 필수성을 보여준다.
• $n > 2$ 명의 참여자와 고정된 $k$ 에 대해, 환경 없음 및 파레토 최적 시퀀스가 존재하지 않는 일상품 분배 사례가 존재함을 보여, 근본적인 제약이 있음을 시사한다.
• 두 명의 참여자와 짝수 개의 라운드인 경우, 항상 전체적으로 환경 없고 파레토 최적이며, 라운드별로 한 개의 항목을 고려한 약한 환경 없음이 보장되는 시퀀스가 존재한다.
• 두 라운드인 경우, 라운드별 공정성 보장은 EF1(한 개의 항목을 고려한 환경 없음)으로 강화될 수 있으며, 이러한 분배는 다항식 시간 내에 계산 가능하다.
• 반복 횟수 $k$ 가 자유롭게 선택 가능한 경우, 임의의 참여자 수에 대해 항상 환경 없고 파레토 최적이며, 라운드별로 PROP[1,1] 보장을 갖는 분배가 존재한다. 이는 분수 분배의 확률적 구현을 통해 달성된다.