[논문 리뷰] Repeated patterns in proper colourings

David Conlon, Mykhaylo Tyomkyn|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 03.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 27인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 완전 그래프 $K_n$의 적절한 간선 색칠에서 고정된 그래프 $H$의 $k$개의 정점에 대해 서로소인, 색상이 동형인 복제본을 피하는 데 필요한 최소 색상 수를 조사한다. 조합론적, 확률론적, 대수적 방법—특히 부크의 랜덤 대수적 방법의 변종—을 사용하여 $f_k(n,H)$에 대한 날카로운 경계를 확립한다. 수목 $T$가 $m$개의 간선을 가질 때, $k \geq 3$이면 $f_k(n,T) = \Theta(n^{(m+1)/m})$임을 보이며, 비이분 그래프 $H$에 대해서는 $f_2(n,H) \leq n+1$이고, 사이클을 가진 이분 그래프 $H$에 대해서는 어떤 $k$에 대해 $f_k(n,H) = O(n)$임을 보인다. 주요 기여는 $H$의 구조에 기반한 $f_k(n,H)$의 삼분류 유사 분류로, 특히 산림, 사이클을 가진 이분 그래프, 비이분 그래프를 구분한다.

ABSTRACT

For a fixed graph $H$, what is the smallest number of colours $C$ such that there is a proper edge-colouring of the complete graph $K_n$ with $C$ colours containing no two vertex-disjoint colour-isomorphic copies, or repeats, of $H$? We study this function and its generalisation to more than two copies using a variety of combinatorial, probabilistic and algebraic techniques. For example, we show that for any tree $T$ there exists a constant $c$ such that any proper edge-colouring of $K_n$ with at most $c n^2$ colours contains two repeats of $T$, while there are colourings with at most $c' n^{3/2}$ colours for some absolute constant $c'$ containing no three repeats of any tree with at least two edges. We also show that for any graph $H$ containing a cycle there exist $k$ and $c$ such that there is a proper edge-colouring of $K_n$ with at most $c n$ colours containing no $k$ repeats of $H$, while, for a tree $T$ with $m$ edges, a colouring with $o(n^{(m+1)/m})$ colours contains $ω(1)$ repeats of $T$.

연구 동기 및 목표

• 고정된 그래프 $H$에 대해 $K_n$의 적절한 간선 색칠에서 $k$개의 정점에 대해 서로소인, 색상이 동형인 $H$의 복제본을 피하는 데 필요한 최소 색상 수 $C$를 결정하는 것, 이를 $f_k(n,H)$로 정의한다.
• $f_k(n,H)$의 성장률을 $H$의 구조에 따라 분류하는 것, 특히 산림, 사이클을 가진 이분 그래프, 비이분 그래프를 구분하는 것.
• 특히 레인보우 패턴이 중심이 되는 적절한 간선 색칠에서 반복되는 색상이 동형인 부분그래프의 설정으로 알려진 극값 결과를 확장하는 것.
• 특정 그래프 가족, 예를 들어 짝수 사이클과 완전 그래프의 1-분할에 대해 $f_k(n,H)$의 극값 행동에 대한 열린 문제를 해결하는 것.
• 일반화된 레이먼드 이론 및 초그래프 일반화와의 연결 고리를 탐색하는 것, 특히 구조화된 색칠에서 반복 패턴을 피하는 맥락에서.

제안 방법

• 적절한 간선 색칠에서 $H$의 $k$개의 정점에 대해 서로소인, 색상이 동형인 복제본이 없는 $K_n$에서의 최소 색상 수를 $f_k(n,H)$로 정의한다.
• 피그혼 원리와 극값 그래프 이론을 적용하여 하한을 유도하며, 특히 $H$가 산림이거나 간선 밀도가 높을 경우 $f_k(n,H)$에 대해 유도한다.
• 부크의 랜덤 대수적 방법의 변종을 사용하여, 어떤 그래프 $H$가 사이클을 포함하면 적절한 $k$가 존재하여 $f_k(n,H) = O(n)$임을 보인다.
• 1-분할 및 경로 시스템과 같은 조합적 구성 기법을 사용하여 수목 $T$에 대해 $f_k(n,T)$의 상한을 확립한다.
• 구스타프슨의 정리와 투란 유형의 경계를 포함한 극값 결과를 적용하여 $f_k(n,H)$의 점근적 성장률을 분석한다.
• 특히 $e(H) \geq 2|H| - 2$ 또는 $e(H) \geq \frac{3}{2}|H| - 3$일 경우, 간선 수와 정점 수를 기반으로 $H$의 구조를 분석하여 점근적 임계값을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 고정된 그래프 $H$에 대해, $K_n$의 모든 적절한 간선 색칠이 최소 $k$개의 정점에 대해 서로소인, 색상이 동형인 $H$의 복제본을 포함하는 데 필요한 최소 색상 수 $C$는 무엇인가?
• RQ2 $f_k(n,H)$의 성장률은 $H$의 구조에 따라 어떻게 달라지며, 특히 $H$가 산림인지, 사이클을 가진 이분 그래프인지, 비이분 그래프인지에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 경계 $f_2(n,C_4) = O(n^{3/2})$는 $O(n)$으로 향상시킬 수 있는가? 그리고 $f_2(n,C_6)$에 대해 올바른 지수는 무엇인가?
• RQ4 수목 $T$가 $m$개의 간선을 가질 때, $k \geq 3$이면 $f_k(n,T) = \Theta(n^{(m+1)/m})$인지 확인하고, 특정 $k$에 대해 이를 더욱 강화할 수 있는가?
• RQ5 모든 $\varepsilon > 0$에 대해, 긴 짝수 사이클 $C_{2m}$에 대해 $m \to \infty$일 때 $f_2(n,H) = \Omega(n^{2-\varepsilon})$가 성립하는가?

주요 결과

• 모든 $m$개의 간선을 가진 수목 $T$와 $k \geq 3$에 대해 $f_k(n,T) = \Omega(n^{(m+1)/m})$이며, 어떤 $k'$가 존재하여 $f_{k'}(n,T) = O(n^{(m+1)/m})$임을 보여, $k \geq 3$일 때 $f_k(n,T) = \Theta(n^{(m+1)/m})$임을 의미한다.
• 최소 두 개의 간선을 가진 모든 수목 $T$에 대해 $f_3(n,T) = \Theta(n^{3/2})$이며, 이는 $k=3$에서 날카로운 임계값임을 보여준다.
• 모든 사이클을 포함하는 그래프 $H$에 대해, 적절한 $k$가 존재하여 $f_k(n,H) = O(n)$임을 보여, 사이클이 존재할 경우 반복 복제본을 선형 색칠로 피할 수 있음을 보여준다.
• 비이분 그래프 $H$에 대해 $f_2(n,H) \leq n+1$이며, $n$이 홀수일 경우 $f_2(n,H) = n$임을 보여, 작은 색칠에서 두 개의 복제본은 피할 수 없음을 보여준다.
• 간선 수 $e(H) \geq 2|H| - 2$인 이분 그래프 $H$에 대해 $f_2(n,H) = \Theta(n)$이며, 이는 이러한 그래프들이 선형 색칠에서 피할 수 있음을 시사한다.
• 짝수 사이클에 대해 $f_2(n,C_4) = O(n^{3/2})$이며, $f_2(n,C_6)$가 $\Theta(n^\alpha)$이면 $4/3 \leq \alpha \leq 5/3$임을 보여, 비트리비얼 지수를 시사한다.