[논문 리뷰] Repetitive Delone Sets and Quasicrystals

J. C. Lagarias, P. A. B. Pleasants|ArXiv.org|1999. 09. 06.

Quasicrystal Structures and Properties참고 문헌 42인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비정현적 구조를 모델링하기 위한 프레임워크로 반복적인 델로네 집합을 도입하고 분석하며, 모든 T-패치를 찾는데 필요한 반지름을 제한하는 함수 M(T)를 통해 반복성을 정의한다. 선형 반복성 집합(M(T) = O(T))은 엄격한 균일 패치 주파수를 가지며, 회절 가능하다는 것을 증명하며, 이를 '완벽하게 질서정연한 퀀트크리스털'로 제안한다—이것은 높은 질서와 측정 가능한 복잡성을 지닌 최소한의 비정현적 클래스이다.

ABSTRACT

This paper considers the problem of characterizing the simplest discrete point sets that are aperiodic, using invariants based on topological dynamics. A Delone set whose patch-counting function N(T), for radius T, is finite for all T is called repetitive if there is a function M(T) such that every ball of radius M(T)+T contains a copy of each kind of patch of radius T that occurs in the set. This is equivalent to the minimality of an associated topological dynamical system with R^n-action. There is a lower bound for M(T) in terms of N(T), namely N(T) = O(M(T)^n), but no general upper bound. The complexity of a repetitive Delone set can be measured by the growth rate of its repetitivity function M(T). For example, M(T) is bounded if and only if the set is a crystal. A set is called is linearly repetitive if M(T) = O(T) and densely repetitive if M(T) = O(N(T))^{1/n}). We show that linearly repetitive sets and densely repetitive sets have strict uniform patch frequencies, i.e. the associated topological dynamical system is strictly ergodic. It follows that such sets are diffractive. In the reverse direction, we construct a repetitive Delone set in R^n which has M(T) = O(T(log T)^{2/n}(log log log T)^{4/n}), but does not have uniform patch frequencies. Aperiodic linearly repetitive sets have many claims to be the simplest class of aperiodic sets, and we propose considering them as a notion of "perfectly ordered quasicrystal".

연구 동기 및 목표

• 위상동역학 불변성을 이용해 가장 단순한 비정현적 이산 점 집합을 특성화하기 위해.
• 패치가 얼마나 조밀하게 반복되는지를 측정하는 함수 M(T)를 통해 델로네 집합에서의 반복성을 정의하고 분석하기 위해.
• 반복적인 델로네 집합이 균일 패치 주파수를 가지며 회절 가능해지는 조건을 설정하기 위해.
• 선형 반복성 집합을 '완벽하게 질서정연한 퀀트크리스털'의 표준 클래스로 제안하기 위해, 최소한의 비정현적 질서를 지닌다.

제안 방법

• 반복성 함수 M(T)를 도입하며, 이는 모든 T-패치를 포함하는 최소 반지름 M(T)+T를 가진 구의 반지름으로 정의된다.
• 위상동역학을 사용하여 델로네 집합의 힐(hull) 위에서 R^n 작용의 최소성과 반복성의 동치성을 보여준다.
• 에르고딕 이론을 적용하여 선형 반복성 집합(M(T) = O(T))이 엄격히 에르고딕하다는 것을 증명함으로써 균일 패치 주파수를 암시한다.
• M(T) = O(T(log T)^{2/n}(log log log T)^{4/n})인 반복적인 델로네 집합의 반례를 구성하여, 균일 패치 주파수가 없는 경우가 있음을 보였다.
• 패치 수 계산 함수 N(T)와 그 M(T)에 대한 渐近적 분석에 의존하며, N(T) = O(M(T)^n)은 반복적인 모든 델로네 집합에 대해 기본적인 경계이다.
• 엄격한 균일 패치 주파수 개념을 사용하여 동역학계 이론과 물리적 회절 성질을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 델로네 집합에서 균일 패치 주파수를 보장하기 위해 반복성 함수 M(T)에 어떤 조건이 필요할까?
• RQ2 비균일 반복성인 반복적인 델로네 집합이 존재할 수 있으며, 만약 그렇다면 M(T)의 성장은 얼마나 복잡할 수 있을까?
• RQ3 최대 질서를 가지면서도 비정현적인 자연스러운 비정현 집합 클래스가 존재하는가?
• RQ4 M(T)의 성장률은 집합의 회절 성질과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 장거리 질서를 유지할 수 있는 최소한의 복잡성 클래스는 무엇인가?

주요 결과

• 선형 반복성 집합—즉, M(T) = O(T)—은 엄격한 균일 패치 주파수를 가지며, 이는 관련 동역학계가 엄격히 에르고딕하다는 것을 암시한다.
• 밀도 있는 반복성 집합은 M(T) = O(N(T))^{1/n}으로 정의되며, 이 역시 엄격한 균일 패치 주파수를 가지며 따라서 회절 가능하다.
• 모든 반복적인 델로네 집합에 대해 N(T) = O(M(T)^n)이라는 경계가 항상 성립하며, 이는 패치 복잡성과 반복성 사이의 기본적인 연결 고리를 확립한다.
• M(T) = O(T(log T)^{2/n}(log log log T)^{4/n})인 반복적인 델로네 집합이 존재하며, 이는 균일 패치 주파수가 없는 경우를 보여주며, 선형 반복성이 반복성에 필수적이지 않음을 시사한다.
• 선형 반복성 집합은 높은 질서와 최소한의 비정현성 덕분에 '완벽하게 질서정연한 퀀트크리스털'의 자연스러운 모델로 제안된다.
• 이 논문은 엄격한 에르고딕성(따라서 회절 가능성)이 델로네 집합의 맥락에서 선형 반복성과 동치임을 증명한다.