[논문 리뷰] Reply to Comment on ``Time-dependent quasi-Hermitian Hamiltonians and the unitary quantum evolution''

Miloslav Znojil|ArXiv.org|2007. 11. 05.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 최근의 비판적 논평에서 잘못된 가정을 반박함으로써 시간에 의존하는 준해르미트 양자계에서 시간 진화의 보존성(unitarity)을 방어한다. 보존성은 시간에 의존하지 않는 메트릭 연산자를 필요로 하지 않으며, 표준 시간에 의존하는 준해르미트성 조건 $ H(t)^\dagger = \Theta(t)H(t)\Theta(t)^{-1} $ 만으로도 충분하다는 것을 보여주며, 혼동의 근본 원인으로 표기법 관련 모호성을 지적한다.

ABSTRACT

In his fresh "Comment" (arXiv:0711.0137v1), A. Mostafazadeh reacts on my very recent letter (arXiv:0710.5653v1) where I tried to clarify certain misunderstandings which occurred in A. M., Phys. Lett. B extbf{650}, 208 (2007) [arXiv:0706.1872v2, "Paper"]. As long as the "Comment" offers a new support of the original assertions made in the "Paper", I feel obliged to re-clarify the matter by extending my argumentation. I insist that it is possible to escape the main conclusion of the "Paper", indeed. In particular, I point out a gap in the new calculations in "Comment", add a few remarks on the notation and reconfirm that the unitarity of the time-evolution DOES NOT require the time-independence of the metric operator.

연구 동기 및 목표

• 최근의 시간에 의존하는 준해르미트 해밀토니안과 보존성에 관해 잘못된 해석을 수정하기 위해.
• 메트릭 연산자 $ \Theta(t) $ 가 시간에 따라 변하더라도 시간 진화의 보존성이 유지됨을 보여주기 위해.
• 준해르미트 양자역학에서 다수의 힐베르트 공간과 쌍대 공간의 적절한 처리 방식의 역할을 명확히 하기 위해.
• 특히 진화 연산자와 내적의 정의에 관해 잘못된 결론을 이끌어내는 데 기여하는 표기법의 모호성을 해결하기 위해.
• 물리적 상태 함수열 $ \mathcal{H}^{(\Theta)} $ 에서의 물리적 상태 함수열을 표준 쌍대 공간과 구별하기 위해 이중 꺾새 꺾임 표기법 $ \langle\!\langle \cdot | $ 의 사용을 주장하기 위해.

제안 방법

• 시간 진화 연산자 $ u(t) $ 를 $ h(t) = \omega(t) H(t) \omega(t)^{-1} $ 를 통해 재표현하며, 여기서 $ \omega = \sqrt{\Theta} $ 이다. 이는 보존 동역학을 보장한다.
• 참고 및 물리적 힐베르트 공간 간의 진화를 연결하는 보조 연산자 $ U_R(t) = \omega(t)^{-1} u(t) \omega(0) $ 를 정의한다.
• 시간에 따라 변화하는 $ \Theta(t) $ 의 정확한 진화를 $ \Theta(t) = U_R(t)^{-1\dagger} \Theta(0) U_R^{-1} $ 를 통해 유도하며, 논평에서의 잘못된 가정을 수정한다.
• 논평에서 잘못된 것으로 밝혀진 가정인 $ i\hbar \partial_t U_R(t) = H(t) U_R(t) $ 를 식별하고, 이 가정이 $ U_R(t) $ 의 정의와 모순됨을 보여준다.
• 시간에 의존하는 준해르미트성의 정확한 조건은 $ H(t)^\dagger = \Theta(t) H(t) \Theta(t)^{-1} $ 이며, 잘못된 진화 방정식이 아니라는 것을 확인한다.
• 표준 힐베르트 공간 $ \mathcal{H}^{(\text{stand})}_{\text{phys}} $, 기준 공간 $ \mathcal{H}^{(\text{ref})} $, 물리 공간 $ \mathcal{H}^{(\Theta)} $ 를 구분하며, $ \Theta = \Omega^\dagger \Omega $ 이므로 쌍대 공간의 구조를 명확히 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 준해르미트 해밀토니안계에서 메트릭 연산자 $ \Theta(t) $ 가 시간에 따라 변할 경우 반드시 보존성의 위반이 발생하는가?
• RQ2 시간에 의존하는 준해르미트계에서 메트릭 연산자 $ \Theta(t) $ 의 진화를 지배하는 올바른 운동 방정식은 무엇인가?
• RQ3 시간에 의존하는 준해르미트 해밀토니안의 맥락에서 $ i\hbar \partial_t U_R(t) = H(t) U_R(t) $ 라는 가정이 잘못된 결론을 이끌어내는 이유는 무엇인가?
• RQ4 표준, 기준, 물리적 힐베르트 공간이라는 다수의 힐베르트 공간 구조가 시간에 의존하는 준해르미트 양자역학에서 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 시간에 의존하는 준해르미트 양자이론의 수식화에서 개념적 및 기술적 실수를 방지할 수 있는 표기 규칙은 무엇인가?

주요 결과

• 시간에 의존하는 준해르미트계에서 시간 진화의 보존성은 메트릭 연산자 $ \Theta(t) $ 가 시간에 따라 변하더라도 요구되지 않는다.
• 논평에서 사용된 $ i\hbar \partial_t U_R(t) = H(t) U_R(t) $ 라는 가정은 잘못되었으며, $ U_R(t) $ 의 정의와 모순된다.
• 메트릭의 정확한 진화는 $ \Theta(t) = U_R(t)^{-1\dagger} \Theta(0) U_R^{-1} $ 로 주어지며, 이는 $ U_R(t) $ 의 정의로부터 일관되게 도출된다.
• 표준 시간에 의존하는 준해르미트성 조건 $ H(t)^\dagger = \Theta(t) H(t) \Theta(t)^{-1} $ 는 여전히 보존성에 대해 유효하고 충분하다.
• 혼동의 근본 원인은 서로 다른 힐베르트 공간 표현에서의 쌍대 공간을 혼동하는 표기법의 오용에 있다.
• 물리적 힐베르트 공간 $ \mathcal{H}^{(\Theta)} $ 에서의 선형 함수열을 명확히 하기 위해 이중 꺾새 꺾임 표기법 $ \langle\!\langle \cdot | $ 의 사용을 권장한다.