[논문 리뷰] Représentations galoisiennes automorphes et conséquences arithmétiques des conjectures de Langlands et Arthur

Gaëtan Chenevier|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 19.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 96인용 수 8

한 줄 요약

Ga€ran Chenevier의 후보자학위 논문은 모듈러 Galois 표현과 Langlands 및 Arthur 추측의 산술적 결과 사이의 깊은 연결을 개발한다. 이 논문은 Gal(ϵ/Q)의 p진 특성 다양체 내의 프랙탈 유사 부분집합인 '무한의 풀(fern)'을 도입하여, 모듈러 Galois 표현의 자리크리 클로처를 연구함으로써, 심플렉틱/직교 대안, 극성 표현의 부호, 그리고 저중량 사례에서의 Galois 표현의 구성에 관한 새로운 결과를 이끌어낸다.

ABSTRACT

This is the memoir of my habilitation thesis, defended on March 29 th, 2013 (Université Paris XI).

연구 동기 및 목표

• Gal(ϵ/Q)의 p진 특성 다양체 내에서 모듈러 Galois 표현의 구조와 자리크리 클로저를 이해하기 위해.
• 특히 저지수의 모티프와 비분할 확장에 대해 Langlands 및 Arthur 추측의 산술적 결과를 확립하기 위해.
• 비정규 무게에서의 Galois 표현을 구성하고, 그들의 심플렉틱/직교 성격을 규명하기 위해.
• Galois 표현의 변형 이론에서 p진 해석기하학과 허구적 표현의 역할을 탐구하기 위해.
• 자동형형식 이론과 엔도스코프리 이론을 이용하여, 체의 이론과 Kneser 이웃 이론 문제를 해결하기 위해.

제안 방법

• Gal(ϵ/Q)의 p진 특성 다양체 내의 프랙탈 유사 부분집합으로서 '무한의 풀'을 구성하여, 모듈러 Galois 표현을 매개변수화한다.
• Galois 표현의 변형 공간을 연구하기 위해 p진 해석기하학과 허구적 표현을 사용한다.
• GL(n)과 유니타리 군에서의 자동형형식 이론을 적용하여 저중량 사례에서 Galois 표현을 구성한다.
• 국소 Langlands 대응과 기본 레미를 이용하여 국소 Galois 표현과 그 크리스탈 해석을 분석한다.
• Kneser 이웃 이론과 단위모듈라 격자 이론을 활용하여 특정 산술적 대상을 열거하고 분류한다.
• 자동형형식을 통한 방법으로 Bloch-Kato 추측을 적용하여 특정 성질을 갖는 Galois 확장을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Gal(ϵ/Q)의 p진 특성 다양체 내에서 모듈러 Galois 표현의 집합의 자리크리 클로저는 무엇인가?
• RQ2 완전 실수 체 위에서 본질적으로 자기대칭인 Galois 표현의 심플렉틱 또는 직교 성격을 어떻게 결정할 수 있는가?
• RQ3 지수 1인 모티프와 비분할 확장에 대해 Arthur-Langlands 추측의 산술적 결과는 무엇인가?
• RQ4 자동형형식 방법을 통해 비정규 무게에서 Galois 표현을 구성할 수 있는가?
• RQ5 유한한 소수 집합 외부에서의 Q의 최대 비분할 확장의 Galois 군의 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 무한의 풀은 p진 특성 다양체 내에서 모듈러 Galois 표현의 자리크리 클로저에 대한 기하학적 모델을 제공한다.
• 논문은 완전 실수 체 위에서 본질적으로 자기대칭인 자동형형식 Galois 표현에 대해 심플렉틱/직교 대안을 확립한다.
• 무한의 풀 구성법을 통해 CM 체 위에서 극성 자동형형식 Galois 표현의 부호를 규명한다.
• 저중량 사례, 특히 비정규 무게에서의 Galois 표현을 자동형형식 상승 기법을 사용하여 구성한다.
• 이 이론은 랭크 24 이하의 단위모듈라 격자의 Kneser 이웃을 분류하며, Harder 및 Nebe-Venkov 추측에 응용한다.
• 논문은 자동형형식 계산에 기반하여, 지수 1인 순수하고 극성 모티프의 소수 랭크에서의 추측적 열거를 제공한다.