[논문 리뷰] Representability of Matroids by c-Arrangements is Undecidable

Lukas Kühne, Geva Yashfe|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 12.

graph theory and CDMA systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 주어진 매트로이드가 차원-multiplicity 조건을 만족하는 치수 c의 부분공간으로 구성된 c-배열로 표현 가능한지 여부를 결정하는 것이 임의의 체에서 알고리즘적으로 결정불가능하다는 것을 증명한다. 저자들은 일반화된 다우링 기하학을 사용하여 유한군의 균일한 단어 문제(UWPFG)를 c-배열 표현 가능성으로 환원함으로써, 다중선형 매트로이드 표현 가능성의 결정불가능성을 입증한다. 이는 네트워크 코딩과 기밀 공유에 대한 함의를 가진다.

ABSTRACT

For a natural number $c$, a $c$-arrangement is an arrangement of dimension $c$ subspaces satisfying the following condition: the sum of any subset of the subspaces has dimension a multiple of $c$. Matroids arising as normalized rank functions of $c$-arrangements are also known as multilinear matroids. We prove that it is algorithmically undecidable whether there exists a $c$ such that a given matroid has a $c$-arrangement representation, or equivalently whether the matroid is multilinear. It follows that certain network coding problems are also undecidable. In the proof, we introduce a generalized Dowling geometry to encode an instance of the uniform word problem for finite groups in matroids of rank three. The $c$-arrangement condition gives rise to some difficulties and their resolution is the main part of the paper.

연구 동기 및 목표

• 다중선형 매트로이드 표현 가능성의 결정 가능성 여부에 대한 오랫동안 열려 있던 질문을 해결하기 위해.
• c-배열 표현 가능성과 유한군의 균일한 단어 문제(UWPFG) 사이의 연결 고리를 확립하기 위해.
• 어떤 매트로이드에 대해 c-배열 표현이 존재하는지 여부가, 심지어 대수적으로 닫힌 체 위에서도 결정불가능하다는 것을 보여주기 위해.
• 랭크 3의 매트로이드에 군의 표현을 인코딩하기 위해 다우링 기하학의 구성법을 확장하기 위해.
• UWPFG의 결정불가능성이 c-배열 표현 가능성으로의 계산 가능한 환원을 통해 유도됨을 보여주기 위해.

제안 방법

• 유한군의 표현 ⟨S∣R⟩으로부터 일반화된 다우링 기하학을 구성하여 군 원소와 관계를 랭크 3 매트로이드에 인코딩하기 위해.
• 4.3 절의 구성법을 사용하여 특별한 기저와 군 단어에 대응하는 원소를 가진 삼각형 매트로이드 N_{S,R}를 정의하기 위해.
• 정리 7.6를 통해 N_{S,R}로부터 유도된 다항매트로이드 g를 정의하여 군 표현의 구조를 포괄하기 위해.
• g의 잘 분리된 확장에서 이중 배열 W를 구성하기 위해, c-기저를 사용하여 원소들의 분리를 보장하기 위해.
• 말체프의 정리를 사용하여 무한 행렬군에서 유한 몫군으로 이행하여 표현의 비등가를 유지하기 위해.
• UWPFG로의 환원을 적용: 매트로이드가 A_x ≠ A_y인 약한 c-표현을 가질 때이고, 그때만 군 단어가 비자명할 때, c-배열 표현 가능성과 연결된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 매트로이드가 임의의 체에서 c-배열 표현을 가질 수 있는지 여부를 결정하는 알고리즘이 존재하는가?
• RQ2 유한군의 균일한 단어 문제는 매트로이드의 c-배열 표현 가능성 문제로 환원될 수 있는가?
• RQ3 두 원소에 대해 서로 다른 부분공간을 가진 약한 c-표현이 존재하면, 확장된 매트로이드에 대해 c-배열 표현이 존재하는가?
• RQ4 다중선형 매트로이드 표현 가능성은 1-배열 표현 가능성보다 엄밀히 더 표현력이 강한가? 그리고 결정 가능한가?
• RQ5 네트워크 코딩 인스턴스가 선형 해를 가질 수 있는지 여부를 판단하는 계산 복잡도는 무엇인가? 이는 관련 매트로이드에 의해 주어진다.

주요 결과

• 모든 체, 특히 대수적으로 닫힌 체 위에서 매트로이드의 다중선형 표현 가능성 문제는 결정불가능하다.
• 결정불가능성은 기존에 슬로브스코이의 정리에 의해 결정불가능한 것으로 알려진 유한군의 균일한 단어 문제(UWPFG)로부터 계산 가능한 환원을 통해 유도된다.
• 군 표현 ⟨S∣R⟩로부터 구성된 매트로이드 N_{S,R}는 A_x ≠ A_y인 약한 c-표현을 가질 때이고, 그때만 단어 w가 군 내에서 비자명할 때이다.
• 그러한 약한 c-표현이 존재하면, g(즉, N_{S,R}로부터 유도된 다항매트로이드)의 2배 확장 중 일부는 x와 y를 분리하는 c-배열 표현을 가진다.
• 유한 개의 관련 매트로이드 M_i 중 하나에 대해 c-배열 표현이 존재하는 것은 UWPFG 인스턴스가 부정적인 답변을 가짐을 의미한다.
• 결과적으로, 네트워크 코딩 문제에 선형 벡터 해가 존재하는지 여부를 판단하는 것은 다중선형 표현 가능성과 알려진 등가이므로 결정불가능하다.