[논문 리뷰] Representation homology of spaces and higher Hochschild homology

Yuri Berest, Ajay C. Ramadoss외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 10.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고전적 호모로지 대수학을 통해 위상공간의 표현 호모로지(representation homology)를 도입하며, 감소된 스터프닝(reduced suspension)의 표현 호모로지가 그의 고차 호흐실트 호모로지와 동형임을 증명함으로써 직접적인 기하학적 연결을 확립한다. 주요 기여로는 단순연결된 유한 유리수 유형을 가진 공간의 표현 호모로지가 퀄렌(Quillen) 및 수울리모델(Sullivan models)로 표현되는 비교 정리(Comparison Theorem)가 있다.

ABSTRACT

In this paper, we study representation homology of topological spaces, that is a natural homological extension of representation varieties of fundamental groups. We give an elementary construction of representation homology in terms of classical (abelian) homological algebra. Our construction is parallel to the Loday-Pirashvili construction of higher Hochschild homology; in fact, we establish a direct geometric relation between the two theories by showing that the representation homology of the (reduced) suspension of a (pointed connected) space is isomorphic to its higher Hochschild homology. We also construct some natural maps and spectral sequences relating representation homology to other standard homology theories associated with spaces (such as Pontryagin algebras, S^1-equivariant homology of the free loop space and stable homology of automorphism groups of f.g. free groups). We compute representation homology explicitly (in terms of known invariants) in a number of interesting cases, including spheres, suspensions, complex projective spaces, Riemann surfaces and some 3-dimensional manifolds (such as link complements in R^3 and the lens spaces L(p,q)). One of our main results, which we call the Comparison Theorem, expresses the representation homology of a simply-connected topological space of finite rational type in terms of its Quillen and Sullivan models.

연구 동기 및 목표

• 기본군의 표현 다양체의 호모로지 확장을 고전적 호모로지 대수학을 통해 개발하기.
• 표현 호모로지와 고차 호흐실트 호모로지 사이의 기하학적 관계를 확립하기.
• 표현 호모로지와 펀트리아긴 대수 및 자유 루프 공간의 S^1-동치 호모로지와 같은 다른 호모로지 이론들을 연결하는 자연스러운 사상과 스펙트럴 시퀀스를 구성하기.
• 구형, 스터프닝, 복소 프로젝티브 공간, 리만 곡면 및 3-다양체와 같은 핵심 공간들에 대해 표현 호모로지를 명시적으로 계산하기.
• 단순연결된 공간의 유한 유리수 유형에 대해 표현 호모로지를 퀄렌 및 수울리 모델로 표현하는 비교 정리(Comparison Theorem)를 증명하기.

제안 방법

• 유도 범주나 고차 구조를 피하면서 표준적인 아벨 호모로지 대수학을 사용해 표현 호모로지를 구성하기.
• 고차 호흐실트 호모로지의 루다-피라시벨리(Loday-Pirashvili) 구성과 유사한 프레임워크를 채택하기.
• 공간의 감소된 스터프닝의 표현 호모로지가 그의 고차 호흐실트 호모로지와 동형임을 보여주기.
• 자유 루프 공간의 S^1-동치 호모로지 및 자유 군의 자동사상군의 안정 호모로지와 연결하는 자연스러운 사상과 스펙트럴 시퀀스 도입하기.
• 단순연결된, 유한 유리수 유형의 설정에서 표현 호모로지를 분석하기 위해 퀄렌 및 수울리 모델을 활용하기.
• 특정 경우인 구형, 렌스 공간, 링크 보완 등에서 표현 호모로지를 계산하기 위해 고전적 호모로지 기법 적용하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표현 호모로지를 유일하게 고전적 호모로지 대수학을 사용해 어떤 위상공간에 대해 구성할 수 있는가?
• RQ2 표현 호모로지와 고차 호흐실트 호모로지 사이의 정확한 기하학적 관계는 무엇인가?
• RQ3 표현 호모로지는 펀트리아긴 대수나 자유 루프 공간의 S^1-동치 호모로지와 같은 다른 표준 호모로지 이론과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 표현 호모로지를 융기, 복소 프로젝티브 공간, 3-다양체와 같은 공간들에 대해 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 유한 유리수 유형을 가진 단순연결된 공간의 표현 호모로지는 어느 정도까지 퀄렌 및 수울리 모델로 기술될 수 있는가?

주요 결과

• 지정된 연결된 공간의 감소된 스터프닝의 표현 호모로지는 그의 고차 호흐실트 호모로지와 동형이다.
• 자유 루프 공간의 S^1-동치 호모로지 및 유한 생성 자유군의 자동사상군의 안정 호모로지와 연결하는 자연스러운 사상과 스펙트럴 시퀀스가 구성되었다.
• 명시적 계산을 통해 구형, 스터프닝, 복소 프로젝티브 공간 및 리만 곡면의 표현 호모로지가 알려진 호모로지 불변량으로 표현될 수 있음을 보여주었다.
• R^3 내의 렌스 공간 L(p,q)과 링크 보완에 대해, 개발된 프레임워크를 사용해 표현 호모로지를 명시적으로 계산하였다.
• 비교 정리는 단순연결된 공간의 유한 유리수 유형에 대해 표현 호모로지를 퀄렌 및 수울리 모델로 완전히 기술하는 데 기여하였다.