[논문 리뷰] Representation of Itô Integrals by Lebesgue/Bochner Integrals

Qi Lü, Jiongmin Yong외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 벡터값 확률과정에 대한 새로운 리에즈 유형의 쌍대성 특성화를 사용하여, 개선된 적분 조건 하에서 이토 적분을 르베그 또는 보흐너 적분으로 표현함을 확립한다. 주요 기여는 스트로복스 시스템에 대한 정확한 제어성의 새로운 정의를 가능하게 하는 개선된 쌍대성 프레임워크를 제공하는 것으로, 특히 변동성이 0일 경우에도 블랙-숄즈 모델에서 시장 완전성에 이를 초래하는 조건을 제시한다.

ABSTRACT

In [22], it was proved that as long as the integrand has certain properties, the corresponding Itô integral can be written as a (parameterized) Lebesgue integral (or a Bochner integral). In this paper, we show that such a question can be answered in a more positive and refined way. To do this, we need to characterize the dual of the Banach space of some vector-valued stochastic processes having different integrability with respect to the time variable and the probability measure. The later can be regarded as a variant of the classical Riesz Representation Theorem, and therefore it will be useful in studying other problems. Some remarkable consequences are presented as well, including a reasonable definition of exact controllability for stochastic differential equations and a condition which implies a Black-Scholes market to be complete.

연구 동기 및 목표

• 일반화된 적분 조건 하에서 이토 적분을 르베그 또는 보흐너 적분으로 표현하는 개선된 표현을 제공한다.
• 혼합된 $L^p$-$L^q$ 적분 조건을 만족하는 벡터값 확률과정의 쌍대 공간을 특성화하며, 고전적 리에즈 표현 정리의 확장이다.
• 쌍대성 프레임워크를 활용하여 확률미분방정식에 대한 새로운이고 일관된 정확한 제어성의 개념을 정의한다.
• 블랙-숄즈 시장이 변동성이 0이어도 완전해지는 조건을 확립한다.
• 제어의 올바른 함수 공간을 규명하여 확률적 제어성의 모호함을 해결한다.

제안 방법

• 혼합된 시간 및 확률 적분 조건을 가진 벡터값 확률과정 분석을 위한 바나흐 공간 $L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^q(0,T;H))$ 및 그 쌍대를 도입한다.
• $L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^q(0,T;H))$의 쌍대에 대한 리에즈 유형의 표현 정리 개발을 통해 이토 적분을 보흐너 또는 르베그 적분으로 표현할 수 있도록 한다.
• 마틴갈 표현 정리를 사용하여 $L^p_{{\cal F}_T}(\Omega;H)$를 상수와 이토 적분의 직합으로 분해함으로써 쌍대 분석을 촉진한다.
• 쌍대 결과를 활용하여 스트로복스 제어 문제에 대한 새로운 종류의 허용 가능한 제어를 $L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^1(0,T;\mathbb{R}^m))$에서 정의한다.
• 제어 시스템에서 이토 적분이 잘 정의되기 위해 $Du(\cdot) \in L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^2(0,T;\mathbb{R}^n))$가 필수적임을 입증한다.
• 양방향 확률미분방정식(BSDE)을 통한 상환 가능 금융 파생상품의 복제 분석을 수행하고, 시장 완전성에 필요한 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적분된 함수에 대한 일반적인 적분 조건 하에서 이토 적분을 르베그 또는 보흐너 적분으로 표현할 수 있는가?
• RQ2 혼합된 $p,q$-적분 조건을 만족하는 $L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^q(0,T;H))$의 쌍대 공간은 무엇이며, 이는 리에즈 표현 정리와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 스트로복스 시스템에서 이토 적분이 잘 정의되고 정확한 제어성이 확보되도록 하기 위해 제어의 올바른 함수 공간은 무엇인가?
• RQ4 변동성이 0인 블랙-숄즈 시장이 완전해지는 조건은 무엇인가?
• RQ5 제어 공간의 선택($L^1$ 대비 $L^2$)이 스트로복스 시스템의 제어성에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 이토 적분은 $L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^q(0,T;H))$에 속하는 피적분함수에 대해 특정 쌍대 조건을 만족할 경우 보흐너 또는 르베그 적분으로 표현 가능하다.
• 이토 적분은 $p,q$가 특정 쌍대 조건을 만족할 경우 $L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^q(0,T;H))$에 속할 때 르베그 적분으로 표현 가능하다.
• 스트로복스 시스템에 대한 정확한 제어성의 새로운 정의가 제안되며, 이는 제어가 $L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^1(0,T;\mathbb{R}^m))$에 속하고 $Du(\cdot) \in L^p_{\mathbb{F}}(\Omega; L^2(0,T;\mathbb{R}^n))$여야 함을 요구한다.
• 변동성이 0이지만 $b-r > 0$인 블랙-숄즈 시장은 완전하다. 이는 $L^p_{{\cal F}_T}(\Omega;\mathbb{R})$에 속하는 임의의 금융 파생상품이 복제 가능함을 의미한다.
• 이 논문은 스트로복스 설정에서는 정확한 제어성을 확보하기 위해 $L^1$-제어가 필수적임을 입증한다. 이는 결정론적 경우에서는 $L^2$-제어로도 충분한 것과 대조된다.