[논문 리뷰] Representation of quantum dynamics of interacting systems through classical trajectories

Anatoli Polkovnikov|arXiv (Cornell University)|2009. 05. 20.

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 경로 적분 방법을 사용하여 고전적 근사값인 뉴턴, 그로스-피타스키, 블로흐 근사 주위의 섭동 전개를 통해 다체계에서의 양자역학적 동역학을 위상공간 표현으로 제시한다. Wigner 함수, Weyl 기호, Moyal 곱을 유도하며, 양자 점프와 비선형 반응이 자연스럽게 나타나는 것을 보여주며, Keldysh 및 Wigner-Weyl 기법과의 연결을 통해 통합된 프레임워크를 제공한다. 냉각 원자 시스템, 예를 들어 보스-하버드 및 딕 모델에의 응용을 포함한다.

ABSTRACT

We discuss a phase space representation of quantum dynamics of systems with many degrees of freedom. This representation is based on a perturbative expansion in quantum fluctuations around one of the classical limits. We explicitly analyze expansions around three such limits: (i) corpuscular or Newtonian limit in the coordinate-momentum representation, (ii) wave or Gross-Pitaevskii limit for interacting bosons in the coherent state representation, and (iii) Bloch limit for the spin systems. We discuss both the semiclassical (truncated Wigner) approximation and further quantum corrections appearing in the form of either stochastic quantum jumps along the classical trajectories or the nonlinear response to such jumps. We also discuss how quantum jumps naturally emerge in the analysis of non-equal time correlation functions. This representation of quantum dynamics is closely related to the phase space methods based on the Wigner-Weyl quantization and to the Keldysh technique. We show how such concepts as the Wigner function, Weyl symbol, Moyal product, Bopp operators, and others automatically emerge from the Feynmann's path integral representation of the evolution in the Heisenberg representation. We illustrate the applicability of this expansion with various examples mostly in the context of cold atom systems including sine-Gordon model, one- and two-dimensional Bose Hubbard model, Dicke model and others.

연구 동기 및 목표

• 다수의 자유도를 가진 시스템에서 양자역학적 동역학의 체계적인 위상공간 표현을 개발하는 것.
• 고전적 궤도를 따라 확률적 점프와 비선형 반응으로서의 양자역학적 보정과 반세밀역학적 보정을 통합하는 것.
• 헤이젠베르크 표현에서의 파이프라인 적분을 통해 표준 위상공간 도구인 Wigner 함수, Moyal 곱, Bopp 연산자를 도출하는 것.
• 이 formalism 이 Keldysh 형식 및 Wigner-Weyl 양자화 기법과 같은 기존 기법들과 연결되는 방식을 연결하는 것.
• 냉각 원자 시스템, 특히 사인-고르돈 모델, 보스-하버드 모델, 딕 모델 등에의 적용 가능성을 보여주는 것.

제안 방법

• 뉴턴(좌표-운동량), 그로스-피타스키(보스 입자를 위한 코herent 상태), 블로흐(스핀 시스템) 등의 고전적 근사 주위에서 양자 변동에 대한 섭동 전개를 사용한다.
• 헤이젠베르크 표현에서의 파이프라인 적분을 적용하여 Wigner 함수와 Weyl 기호를 기대값으로 도출한다.
• 위상공간에서의 경로 적분 형식화의 자연스러운 결과로서 Moyal 곱과 Bopp 연산자를 도출한다.
• 고차 양자 보정을 표현하기 위해 고전 궤도를 따라 확률적 양자 점프를 도입한다.
• 이 점프에 대한 비선형 반응을 모델링하여 반세밀역학적 초월 효과를 포착한다.
• 비등시 간 상관 함수와 양자 점프의 발생 사이에 직접적인 연결을 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다체계에서의 양자역학적 동역학은 어떻게 고전적 궤도와 양자 변동을 통해 체계적으로 표현할 수 있는가?
• RQ2 헤이젠베르크 표현에서의 경로 적분 형식화에서 Wigner 함수, Moyal 곱, Bopp 연산자가 어떻게 자연스럽게 도출되는가?
• RQ3 이 형식화에서 비등시 간 상관 함수의 구조는 어떻게 양자 점프를 유도하는가?
• RQ4 양자 점프에 대한 비선형 반응은 어떻게 트렁케이티드 Wigner 근사 초월 효과를 확장하는가?
• RQ5 이 프레임워크는 어떻게 옥시탈라티스 또는 스핀 모델과 같은 상호작용 시스템을 기술하는 데 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 헤이젠베르크 표현에서의 파이프라인 적분을 통해 Wigner 함수, Weyl 기호, Moyal 곱이 자연스럽게 도출된다.
• 양자 점프는 비등시 간 상관 함수의 구조에서 유래하며, 확률적 보정의 역학적 기원을 제공한다.
• 트렁케이티드 Wigner 근사는 주로 일차 항으로 나타나며, 고차 항 보정은 양자 점프에 대한 비선형 반응으로 포착된다.
• 이 방법은 뉴턴, 그로스-피타스키, 블로흐 등의 다양한 고전적 근사에 걸쳐 양자역학적 동역학을 통합적으로 묘사할 수 있다.
• 이 프레임워크는 일차원 및 이차원 보스-하버드 모델과 딕 모델을 포함한 다양한 냉각 원자 시스템에 적용 가능하다.
• 위상공간 형식화를 통해 Keldysh 기법과의 연결이 확립되어 실시간 동역학과 양자장 이론 기법 사이의 다리를 놓을 수 있다.