[논문 리뷰] Representation of Reynolds Stress Perturbations with Application in Machine-Learning-Assisted Turbulence Modeling

Jinlong Wu, Rui Sun외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 17.

Model Reduction and Neural Networks참고 문헌 24인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 기계학습 기반 RANS 모델링에서 난류 응력 고유벡터의 변동을 모델링하기 위해 단위 허수를 더 우수한 표현 방식으로 제안한다. 이를 통해 유클리드 각 기반 표현 방식이 부드러움 또는 기준 프레임에 대한 독립성 부족으로 실패하는 반면, 단위 허수는 두 조건을 모두 충족하여 RANS 모델에 대한 정확하고 일반화 가능한 데이터 기반 보정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Numerical simulations based on Reynolds-Averaged Navier--Stokes (RANS) equations are widely used in engineering design and analysis involving turbulent flows. However, RANS simulations are known to be unreliable in many flows of engineering relevance, which is largely caused by model-form uncertainties associated with the Reynolds stresses. Recently, a machine-learning approach has been proposed to assist RANS modeling by building a functional mapping from mean flow features to discrepancies in RANS modeled Reynolds stresses as compared to high-fidelity data. However, it remains a challenge to represent discrepancies in the Reynolds stress eigenvectors in machine learning due to the requirements of spatial smoothness, frame-independence, and realizability. In this work, we propose three schemes for representing perturbations to the eigenvectors of RANS modeled Reynolds stresses: (1) discrepancy-based Euler angles, (2) direct-rotation-based Euler angles, and (3) unit quaternions. We compare these metrics by performing a priori and a posteriori tests on two canonical flows: fully developed turbulent flows in a square duct and massively separated flows over periodic hills. The results demonstrate that the direct-rotation-based Euler angles representation lacks spatial smoothness while the discrepancy-based Euler angles representation lacks frame-independence, making them unsuitable for being used in machine-learning-assisted turbulence modeling. In contrast, the representation based on unit quaternion satisfies all the requirements stated above, and thus it is an ideal choice in representing the perturbations associated with the eigenvectors of Reynolds stress tensors. This finding has clear importance for uncertainty quantification and machine learning in turbulence modeling and for data-driven computational mechanics in general.

연구 동기 및 목표

• 기계학습을 통한 RANS 모델링에서 난류 응력 텐서의 고유벡터 변동을 표현하는 데 도전 과제를 해결한다.
• 기존 표현 방식의 한계 — 특히 공간적 부드러움과 기준 프레임에 대한 독립성 부족 — 을 극복하여 난류 응력 이방성의 차이를 모델링할 수 있도록 한다.
• 응력 텐서 변동의 수학적으로 견고한 표현을 선택하여 데이터 기반 RANS 모델 보정의 실현 가능성과 물리적 일관성을 확보한다.
• 표현 방식 세 가지(차이 기반 유클리드 각, 직접 회전 기반 유클리드 각, 단위 허수)를 정규 흐름에서 평가하고 비교한다.
• 유닛 허수를 RANS 기반 난류 모델링에서의 불확실성 정량화 및 기계학습을 위한 고유벡터 변동의 최적 표현으로 확립한다.

제안 방법

• 난류 응력 텐서의 고유벡터 변동을 고유벡터의 강체 회전으로 공식화한다.
• 세 가지 표현 방식을 제안한다: (1) 차이 기반 유클리드 각, (2) 직접 회전 기반 유클리드 각, (3) 단위 허수로 RANS 예측값과 진짜 응력 고유벡터 간의 회전 차이를 인코딩한다.
• 완전히 발달한 정류 흐름이 있는 사각형 채널과 주기적 언덕 위에서의 다량의 분리 흐름이라는 두 가지 정규 흐름에서 사전 및 사후 테스트를 적용한다.
• 기계학습을 통해 세 가지 표현 방식을 통해 고유벡터 변동을 예측하고 DNS 데이터와 성능을 비교한다.
• 고유값 기반 이방성의 물리적 일관성을 확보하기 위해 루믈리 삼각형(Barycentric 삼각형)을 사용하여 실현 가능성을 강제한다.
• 수치적 검증과 재구성된 난류 응력 성분의 비교를 통해 부드러움과 기준 프레임에 대한 독립성을 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차이 기반 유클리드 각이 기계학습에서 난류 응력 고유벡터 변동을 기준 프레임에 독립적으로 표현할 수 있는가?
• RQ2 직접 회전 기반 유클리드 각 표현 방식이 응력 변동 예측 맵핑에서 공간적 부드러움을 보장하는가?
• RQ3 다른 표현 방식은 다양한 흐름 구조와 레이놀즈 수에서 기계학습 모델의 일반화에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 유닛 허수가 RANS 기반 난류 모델링에서 고유벡터 변동을 모델링할 때 부드러움과 기준 프레임에 대한 독립성이라는 두 가지 조건을 모두 충족할 수 있는가?
• RQ5 표현 방식 선택이 사후 테스트에서 재구성된 난류 응력 성분의 정확성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 직접 회전 기반 유클리드 각 표현 방식은 기계학습 맵핑에서 공간적 부드러움을 확보하지 못하여 예측된 변동에 물리적으로 비합리적인 불연속성이 발생한다.
• 차이 기반 유클리드 각 표현 방식은 기준 프레임에 대한 독립성을 결여하여, 유사한 유체역학적 조건을 가진 테스트 흐름에 적용할 경우 성능이 떨어진다.
• Re=5600에서 주기적 언덕 위의 흐름에서, 차이 기반 유클리드 각을 사용한 재구성된 전단 응력 성분 $ R_{xy} $ 는 바람을 받는 측면 근처에서 기본 RANS 결과보다 열 劣하다. 이는 기준 프레임 의존성 때문이었다.
• 유닛 허수 표현 방식은 두 테스트 케이스에서 모두 DNS 데이터와 뛰어난 일치를 보였으며, 특히 기울기가 크고 고유벡터가 어긋나는 풍향 측면에서 뚜렷한 성능 향상을 보였다.
• 유닛 허수 기반으로 재구성된 $ R_{xy} $ 는 난류 강도가 높고 복잡한 유동 구조를 가진 영역에서 RANS 및 차이 기반 유클리드 각 예측보다 정확도가 높았다.
• 유닛 허수 표현은 공간적 부드러움과 기준 프레임에 대한 독립성을 모두 충족하여, 기계학습 기반 RANS 모델링에서 고유벡터 변동의 최적 표현으로서 최적의 성능을 보였다.