[논문 리뷰] Representation of squares by monic second degree polynomials in the field of $p$-adic meromorphic functions

Héctor Pastén|arXiv (Cornell University)|2010. 03. 09.

Meromorphic and Entire Functions참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진 미르피크 함수의 분야에서 Büchi의 $n$-제곱 문제에 대한 양의 해를 제시한다. $p$-진 네바린나 이론과 보지타의 추측을 이용하여, 일정한 두 번째 차분이 2인 $M$개의 제곱수로 이루어진 수열이 연속된 정수에서 유래해야 한다는 것을 증명함으로써 이루어진다. 이 결과는 Büchi의 언어에서 $p$-진 미르피크 함수 및 정수 함수에 대한 양의 존재 이론의 결정 불가능성을 암시한다.

ABSTRACT

We prove a result on the representation of squares by second degree polynomials in the field of $p$-adic meromorphic functions in order to solve positively Büchi's $n$ squares problem in this field (that is, the problem of the existence of a constant $M$ such that any sequence $(x_n^2)$ of $M$ - not all constant - squares whose second difference is the constant sequence $(2)$ satisfies $x_n^2=(x+n)^2$ for some $x$). We prove (based on works by Vojta) an analogous result for function fields of characteristic zero, and under a Conjecture by Bombieri, an analogous result for number fields. Using an argument by Büchi, we show how the obtained results improve some theorems about undecidability for the field of $p$-adic meromorphic functions and the ring of $p$-adic entire functions.

연구 동기 및 목표

• $p$-진 미르피크 함수의 분야에서 Büchi의 $n$-제곱 문제를 해결하여, 두 번째 차분이 2인 $M$개의 제곱수 수열이 반드시 연속된 제곱수여야 한다는 것을 보이는 것.
• 기하학적 및 산술적 기법을 사용하여 특성 0인 함수체와 보머리의 추측 하에 수체계로 결과를 확장하는 것.
• 해결책을 적용하여 $p$-진 미르피크 함수 및 정수 함수에서 링 언어에 제곱 술어를 추가한 언어에서의 결정 불가능성 결과를 강화하는 것.
• $p$-진 미르피크 함수체에서 모닉 이차다항식이 제곱수를 나타내는 표현 정리를 수립하여, 이러한 다항식이 비자명한 경우 유한한 예외 집합에 속하거나 자명해야 한다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• $p$-진 네바린나 이론을 사용하여 미르피크 함수의 성장과 값 분포를 분석하고, 특히 두 번째 차분 하에서 제곱수의 행동에 집중한다.
• 일반 유형의 다양체에서 유리점의 분포에 관한 보지타의 추측을 적용하여 함수체에서 디오판틴 방정식의 해의 수를 제어한다.
• 리만-허리츠 공식과 종수의 경계를 사용하여 대수적 표면에서 낮은 종수를 가진 곡선은 반드시 자명한 직선이어야 하며, 이는 해의 선형적 구조를 암시한다.
• Büchi의 언어 $\mathcal{L}_2 = \{0,1,+ , P_2\}$에서 제곱과 곱셈을 정의하기 위해, 일정한 두 번째 차분을 가진 제곱수 수열을 이용한 논리 공식을 구성한다.
• 문제를 해결하기 위해, $M$개의 점에서 $P(a_i) = h_i^2$를 만족하는 비자명한 해가 프로젝티브 표면 $X_M$에서 자명한 직선 위에 있어야 한다는 것을 보여, $P$가 다항식환에서 제곱이거나 유한한 예외 집합에 속해야 한다는 것을 유도한다.
• 만약 $P$가 모닉 이차다항식이고 $M \geq 8$개의 서로 다른 $a_i$에서 $P(a_i)$가 제곱수이면, $P$는 함수체에서 제곱이거나 유한한 예외 집합 $E$에 속해야 한다는 사실을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 번째 차분이 2인 $p$-진 미르피크 함수의 분야에서 제곱수 수열이 연속된 제곱수여야 하기 위한 상수 $M$이 존재하는가?
• RQ2 기하학적 및 산술적 제약 조건을 적용하여 특성 0인 함수체에서 Büchi 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ3 일반 유형의 다양체에 관한 보머리의 추측 하에, 수체계에서 Büchi 문제의 성립 여부는?
• RQ4 $p$-진 미르피크 함수에서 Büchi 문제의 양의 해를 이용하여 Büchi 언어에서의 양의 존재 이론의 결정 불가능성을 증명할 수 있는가?
• RQ5 함수체에서 $M$개의 서로 다른 점 $a_i$에서 $P(a_i)$가 제곱수인 모닉 이차다항식 $P$의 구조는 어떻게 되는가?

주요 결과

• $p$-진 미르피크 함수의 분야에서 Büchi의 $n$-제곱 문제는 양의 해를 가진다: 두 번째 차분이 2인 $M=8$개의 제곱수 수열은 반드시 연속된 제곱수여야 한다.
• $p$-진 미르피크 함수의 분야에서 모닉 이차다항식 $P$가 $M \geq 8$개의 서로 다른 점에서 제곱수로 매핑되면, 이는 다항식환에서 제곱이거나 유한한 예외 집합 $E$에 속해야 한다.
• 특성 0인 함수체에서도 동일한 표현 결과가 성립한다: $P(a_i)$가 $M \geq 8$개의 서로 다른 $a_i$에서 제곱수이면, $P$는 제곱이거나 유한한 예외 집합에 속해야 한다.
• 보머리의 추측 하에 일반 유형의 다양체에 대해 수체계에서도 동일한 결과가 성립하며, 이는 Büchi 문제의 이론적 진리성을 암시한다.
• 해결책은 Büchi 문제의 성립을 전제로 하여 $\mathbb{Z}$에서 언어 $\mathcal{L}_2 = \{0,1,+ , P_2\}$에서 곱셈이 양의 존재적으로 정의 가능하다는 것을 암시한다.
• $\mathcal{M}_p$와 $\mathcal{A}_p$에서 Büchi 문제의 양의 해는 $\mathcal{L}_2$ 언어에서 $\mathcal{M}_p$와 $\mathcal{A}_p$의 양의 존재 이론의 결정 불가능성을 정의 가능성을 통해 유도한다.