[논문 리뷰] Representation of Uniform Boundedness Principle and Hahn-Banach Theorem in linear n-normed space

Prasenjit Ghosh, T. K. Samanta|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 12.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 선형 n-노름 공간으로의 유니폼 유계성 원리와 하인-반하우스 정리를 확장하기 위해 유계 b-선형 함수형과 그 연속성 유형을 도입한다. 이는 n-바나흐 공간의 맥락에서 이러한 기본 정리를 수립하고, 노름 표현 및 분리 정리와 같은 핵심 응용을 증명하며, 유계 b-선형 함수형의 수열에 대한 약한* 수렴을 도입함으로써 고차원 노름 구조로의 고전적 함수해석학 결과의 일반화를 달성한다.

ABSTRACT

The concept of b-linear functional and its different types of continuity in linear n-normed space are presented and some of their properties are being established. We derive the Uniform Boundedness Principle and Hahn-Banach extension Theorem with the help of bounded b-linear functionals in the case of linear n-normed spaces and discuss some examples and applications. Finally, we present the concept of weak*convergence for the sequence of bounded b-linear functionals in linear n-normed space.

연구 동기 및 목표

• 고전적 함수해석학 정리—유니폼 유계성 원리 및 하인-반하우스 확장 정리—을 선형 n-노름 공간으로 일반화하기 위해.
• n-노름 공간에서 b-선형 함수형과 그 연속성 유형을 정의하고 분석하기 위해.
• n-바나흐 공간에서 유계 b-선형 함수형에 대한 유니폼 유계성 원리와 하인-반하우스 정리를 수립하기 위해.
• 노름 표현, 분리 정리, 쌍대성 결과와 같은 응용을 제공하기 위해.
• n-노름 공간에서 유계 b-선형 함수형의 수열에 대한 약한* 수렴을 도입하고 특성화하기 위해.

제안 방법

• 선형 n-노름 공간에서 b-선형 함수형과 그 연속성 유형의 개념을 도입하기 위해.
• X와 Y의 n-노름을 사용하여 X × Y의 카르테시안 곱에 n-노름을 정의하고, X와 Y가 n-바나흐일 경우 X × Y도 n-바나흐임을 증명하기 위해.
• n-바나흐 공간의 부분공간에서의 유계 b-선형 함수형에 대한 하인-반하우스 확장 정리를 수립하기 위해.
• n-바나흐 공간에서 유계 b-선형 함수형의 가족에 대한 유니폼 유계성 원리를 증명하기 위해.
• 유계 b-선형 함수형의 수열에 대한 약한* 수렴을 도입하고, 순차 수렴을 통해 그 특성을 규명하기 위해.
• b-아나일레이터와 쌍대 공간의 구조를 사용하여 노름 표현과 분리 정리를 유도하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 n-노름 공간에서 유계 b-선형 함수형에 대해 하인-반하우스 확장 정리를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 n-바나흐 공간에서 유계 b-선형 함수형의 가족에 대해 유니폼 유계성 원리가 성립하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 n-노름 공간에서 유계 b-선형 함수형의 수열에 대해 약한* 수렴을 어떻게 정의하고 특성화할 수 있는가?
• RQ4 n-노름 공간에서 쌍대 함수형에 대한 상한을 포함하는 노름 표현 공식의 함의는 무엇인가?
• RQ5 유계 b-선형 함수형과 b-아나일레이터 개념을 사용하여 n-바나흐 공간에서 분리 정리를 수립할 수 있는가?

주요 결과

• n-바나흐 공간의 부분공간에서의 유계 b-선형 함수형에 대해 하인-반하우스 확장 정리가 수립되어, 노름을 유지한 채로 확장 가능함을 보였다.
• n-바나흐 공간에서 유계 b-선형 함수형의 가족에 대해 유니폼 유계성 원리가 증명되었으며, 점별 유계성이 균일 유계성을 함의함을 보였다.
• 노름 표현 공식이 유도되었다: ∥x, b₂, ..., bₙ∥ = sup{ |T(x, b₂, ..., bₙ)| / ∥T∥ : T ∈ X*F, T ≠ 0 }, 이는 실수 선형 n-노름 공간의 임의의 x에 대해 유효하다.
• 하나의 부분공간 W와 x₁ ∉ W이며 h = infₓ∈W ∥x₁ − x, b₂, ..., bₙ∥ > 0 이면, ∥T∥ = 1 이고 T(x₁, b₂, ..., bₙ) = h 이며 모든 x ∈ W 에 대해 T(x, b₂, ..., bₙ) = 0 인 유계 b-선형 함수형 T 가 존재한다.
• b-아나일레이터 SₐF 와 그 단위구 SθF 를 사용하여 inf{∥x − s, b₂, ..., bₙ∥ : s ∈ S} = sup{ T(x, b₂, ..., bₙ) : T ∈ SθF } 를 증명함으로써 쌍대성 결과를 수립하였다.
• 유계 b-선형 함수형의 수열에 대한 약한* 수렴은 고정된 n-튜플에서 함수형의 수렴을 통해 특성화되었으며, 고전적 바나흐 공간에서의 약한* 수렴을 일반화하였다.