[논문 리뷰] Representation theory and tensor product theory for vertex operator algebras

Haisheng Li|arXiv (Cornell University)|1994. 07. 01.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 21인용 수 88

한 줄 요약

이 논문은 유니버설 성질을 통해 정점 연산자 대수(VOA)의 모듈에 대한 보편적인 텐서곱 구성을 수립하고, 이에 대해 동형사상에 의한 교환법칙과 항등원 성질을 증명하며, Frenkel과 Zhu의 A(M)-이론 및 융합 규칙과의 연관성을 제시한다. 일반화된 상호연결 연산자들을 도입하고, 그들의 공간이 일반화된 모듈을 이룬다는 것을 증명하며, 이 텐서곱 구성이 유리 VOA의 경우 Tsuchiya와 Kanie의 방법과 동일한 융합 규칙을 도출한다는 것을 보여준다. 이는 WZW 모델과 최소 모델을 포함한다.

ABSTRACT

We first formulate a definition of tensor product for two modules for a vertex operator algebra in terms of a certain universal property and then we give a construction of tensor products. We prove the unital property of the adjoint module and the commutativity of tensor products, up to module isomorphism. We relate this tensor product construction with Frenkel and Zhu's $A(M)$-theory. We give a proof of a formula of Frenkel and Zhu for fusion rules. We also give the analogue of the ``Hom''-functor of classical Lie algebra theory for vertex operator algebra theory by introducing a notion of ``generalized intertwining operator.'' We prove that the space of generalized intertwining operators from one module to another for a vertex operator algebra is a generalized module. From this result we derive a general form of Tsuchiya and Kanie's ``nuclear democracy theorem'' for any rational vertex operator algebra. This proves that the fusion rules obtained from our construction of tensor products are the same as the fusion rules obtained by using Tsuchiya and Kanie's method, for both WZW models and minimal models. We prove that if $V$ satisfies certain ``finiteness'' and ``semisimplicity'' conditions, then there exists a unique maximal submodule inside the generalized module. Furthermore, we prove that this maximal submodule is isomorphic to the contragredient module of a certain tensor product module. This gives another construction of tensor product modules and this result turns out to be closely related to Huang and Lepowsky's construction.

연구 동기 및 목표

• 정점 연산자 대수(VOA) 모듈에 대해 고전적인 대수적 구성과 유사한 보편적인 텐서곱 함자를 개발하는 것.
• 텐서곱이 모듈 동형사상에 의해 교환법칙과 항등원 성질을 만족한다는 것을 증명하는 것.
• 새로운 텐서곱 구성이 Frenkel과 Zhu의 A(M)-이론과 어떻게 연관되어 있으며, 그들의 융합 규칙 공식을 유도하는지 밝히는 것.
• 일반화된 상호연결 연산자를 도입하고, 그들의 공간이 일반화된 모듈을 이룬다는 것을 증명하는 것.
• 이 텐서곱 구성에서 도출된 융합 규칙이 유리 VOA의 경우 Tsuchiya와 Kanie의 방법과 동일한지를 보여주는 것.

제안 방법

• 보편 성질을 통해 두 VOA 모듈의 텐서곱을 정의함으로써, 동형사상에 의해 유일성을 확보하는 것.
• 기본 모듈에서 생성된 기호 a(n)의 자유 모듈의 몫을 사용하여 텐서곱을 명시적으로 구성하는 것.
• 일반화된 베르마 모듈과 PBW 정리의 개념을 활용하여 텐서곱 공간의 구조를 분석하는 것.
• 일반화된 상호연결 연산자를 리 대수 이론에서의 Hom-함수의 정점 대수 버전으로 도입하는 것.
• 한 모듈에서 다른 모듈로의 일반화된 상호연결 연산자 공간이 VOA 작용에 대해 일반화된 모듈을 이룬다는 것을 증명하는 것.
• 이론을 적용하여 텐서곱 구성이 Tsuchiya와 Kanie의 방법과 동일한 융합 규칙을 도출한다는 것을 보이며, 핵심 민주주의 정리(핵심 민주주의 정리)를 활용하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정점 연산자 대수의 모듈에 대해 보편 성질을 사용하여 보편적인 텐서곱 구성이 정의될 수 있는가?
• RQ2 이 텐서곱 구성에서 도출된 융합 규칙은 Frenkel과 Zhu의 A(M)-이론에서의 규칙과 어떻게 비교되는가?
• RQ3 일반화된 상호연결 연산자 공간은 VOA 작용에 대해 닫혀 있으며, 일반화된 모듈을 이룬다 할 수 있는가?
• RQ4 유리 VOA의 경우, 이 텐서곱 구성이 Tsuchiya와 Kanie의 방법과 동일한 융합 규칙을 도출하는가?
• RQ5 두 비영 모듈의 텐서곱이 언제 0이 되며, 이는 모듈의 범주에 대한 구조에 대해 무엇을 시사하는가?

주요 결과

• 정점 연산자 대수의 두 모듈 간의 텐서곱은 존재하며, 동형사상에 의해 유일하며, 보편 성질을 만족한다.
• 수반 모듈은 텐서곱의 항등원 역할을 하며, 텐서곱은 모듈 동형사상에 의해 교환법칙을 만족한다.
• 새로운 텐서곱 구성으로 계산된 융합 규칙은 Frenkel과 Zhu의 A(M)-이론에서의 규칙과 일치하며, 그들의 공식을 증명한다.
• 한 모듈에서 다른 모듈로의 일반화된 상호연결 연산자 공간은 일반화된 모듈을 이룬다. 이는 Hom-함수의 일반화이다.
• 모든 유리 정점 연산자 대수에 대해, 텐서곱 구성은 Tsuchiya와 Kanie의 방법과 동일한 융합 규칙을 도출하며, 이는 동치성을 증명한다.
• 두 비영 모듈의 텐서곱이 0이 되는 예가 존재하며, 이는 유리 VOA에 대해서도 VOA 모듈의 범주가 반단순적이지 않음을 보여준다.