[논문 리뷰] Representation Theory of Analytic Holonomy C* Algebras

Abhay Ashtekar, Jerzy Lewandowski|arXiv (Cornell University)|1993. 11. 07.

Advanced Operator Algebra Research인용 수 115

한 줄 요약

이 논문은 양자 중력의 맥락에서 분석적 호로만 C*-대수의 표현 이론을 개발하며, 윌슨 루프 함수 기반으로 게이지 등가 연결과 고리의 동치류 사이의 이중성을 수립한다. 주요 기여는 대수의 스펙트럼 위에 충실하고 미분형 불변 측도를 정의함으로써 양자 상태의 힐버트 공간을 구성하고, 끈과 링크 불변량을 미분형 불변 측도와 연결하는 것이다.

ABSTRACT

Integral calculus on the space of gauge equivalent connections is developed. Loops, knots, links and graphs feature prominently in this description. The framework is well--suited for quantization of diffeomorphism invariant theories of connections. The general setting is provided by the abelian C* algebra of functions on the quotient space of connections generated by Wilson loops (i.e., by the traces of holonomies of connections around closed loops). The representation theory of this algebra leads to an interesting and powerful ``duality'' between gauge--equivalence classes of connections and certain equivalence classes of closed loops. In particular, regular measures on (a suitable completion of) connections/gauges are in 1--1 correspondence with certain functions of loops and diffeomorphism invariant measures correspond to (generalized) knot and link invariants. By carrying out a non--linear extension of the theory of cylindrical measures on topological vector spaces, a faithful, diffeomorphism invariant measure is introduced. This measure can be used to define the Hilbert space of quantum states in theories of connections. The Wilson--loop functionals then serve as the configuration operators in the quantum theory.

연구 동기 및 목표

• 미분형 불변 이론의 양자화를 위해, $\mathcal{A}/\mathcal{G}$인 게이지 등가 연결의 공간에 대한 통합 이론을 개발하기 위해.
• 윌슨 루프에 의해 생성되는 게이지 불변 함수의 $C^*$-대수를 구성하여 양자 이론의 구성 관측량으로서 기능하기 위해.
• 대수의 스펙트럼 내 일반화된 연결과 호 그룹에서 게이지 군 $G$로의 준동형사상 사이의 이중성을 수립하기 위해.
• 대수의 스펙트럼 위에 충실하고, 미분형 불변 측도를 정의하여 양자 상태의 힐버트 공간을 가능하게 하기 위해.
• 미분형 불변 측도가 일반화된 끈 및 링크 불변량과 대응함을 보여주어 위상수학과 양자 중력 간의 연결을 맺기 위해.

제안 방법

• 조각별 해석적 고리 위에서 흩어진 홀로노미의 추적(윌슨 루프 함수 기반)으로 생성되는 아벨리안 $C^*$-대수를 구성하기 위해.
• 겔파인드 스펙트럼 이론을 적용하여 스펙트럼 $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$를 일반화된 연결의 공간으로 식별하고, 자연스럽게 $\mathrm{Hom}(\mathcal{HG}, G)$와 동형임을 보여주기 위해.
• 유한한 독립적 호의 집합을 사용하여 $G^n/\mathrm{Ad}$ 위의 연속 함수의 역상으로서 $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 위의 실린더 함수를 정의하기 위해.
• 실린더 측도 이론의 비선형 확장을 도입하여 스펙트럼 위에 충실하고, 미분형 불변 측도를 정의하기 위해.
• 결과적으로 얻어진 $C^*$-대수의 표현이 충실하고, 측도가 기저 다양체의 미분형 변환에 대해 불변임을 보여주기 위해.
• _bundle 독립성 증명: $\Sigma$ 위의 주 $G$-_bundle의 선택과 무관하게 $C^*$-대수와 그 스펙트럼이 독립적임을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원이고 비선형인 공간 $\mathcal{A}/\mathcal{G}$ 위에 일관된 통합 이론을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 스펙트럼 내 일반화된 연결과 호 그룹에서 게이지 군 $G$로의 준동형사상 사이의 정확한 이중성은 무엇인가?
• RQ3 홀로노미 $C^*$-대수의 스펙트럼 위에 충실하고, 미분형 불변 측도를 구성할 수 있는가?
• RQ4 스펙트럼 위의 미분형 불변 측도는 끈 및 링크 불변량과 같은 위상수학적 불변량과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 기저 다양체 $\Sigma$ 위의 주 $G$-_bundle의 선택과 무관하게, 결과적으로 얻어진 $C^*$-대수와 그 표현은 독립적인가?

주요 결과

• 스펙트럼 $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$는 자연스럽게 호 그룹 $\mathcal{HG}$에서 게이지 군 $G$로의 준동형사상의 공간과 동형이며, 연결과 고리 사이의 이중성을 수립한다.
• $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 위의 정규 측도는 고리 공간 위의 특정 함수와 일대일 대응된다.
• 스펙트럼 위의 미분형 불변 측도는 정확히 일반화된 끈 및 링크 불변량과 대응된다.
• 실린더 측도 이론의 비선형 확장을 통해 $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 위에 충실하고, 미분형 불변 측도를 구성하였다.
• $\overline{\mathcal{HA}}$의 $C^*$-대수와 그 스펙트럼은 $\Sigma$ 위의 주 $G$-bundle의 선택과 무관하게 독립적임을 보여주어, 군대 독립성을 확보하였다.
• 이 구성은 $L^2(\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}, d\mu)$로 표현되는 양자 상태의 힐버트 공간을 제공하며, 윌슨 루프는 구성 연산자로 작용한다.