[논문 리뷰] Representation theory of $L_k\left(\mathfrak{osp}(1 | 2) ight)$ from vertex tensor categories and Jacobi forms

Thomas Creutzig, Jesse Frohlich외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 01.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 버텍스 텐서 범주 이론과 자코비 형식 분해를 결합하여, 허용 수준 $k$에서 단순 아핀 버텍스 연산자 슈퍼대수 $L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$의 표현 이론을 수립한다. 모든 단순 국소 및 라몬-틀림 모듈을 분류하고, 버린드의 공식을 통해 초융합 규칙을 계산하며, 버텍스 대수 확장과 모듈라 자료를 이용하여 파라페르미온 코셋 $C_k = \mathrm{Com}(V_L, L_k(\mathfrak{osp}(1|2)))$의 융합 규칙을 결정한다.

ABSTRACT

The purpose of this work is to illustrate in a family of interesting examples how to study the representation theory of vertex operator superalgebras by combining the theory of vertex algebra extensions and modular forms. Let $L_k\left(\mathfrak{osp}(1 | 2) ight)$ be the simple affine vertex operator superalgebra of $\mathfrak{osp}(1|2)$ at an admissible level $k$. We use a Jacobi form decomposition to see that this is a vertex operator superalgebra extension of $L_k(\mathfrak{sl}_2)\otimes ext{Vir}(p, (p+p')/2)$ where $k+3/2=p/(2p')$ and $ ext{Vir}(u, v)$ denotes the regular Virasoro vertex operator algebra of central charge $c=1-6(u-v)^2/(uv)$. Especially, for a positive integer $k$, we get a regular vertex operator superalgebra and this case is studied further. The interplay of the theory of vertex algebra extensions and modular data of the vertex operator subalgebra allows us to classify all simple local (untwisted) and Ramond twisted $L_k\left(\mathfrak{osp}(1 | 2) ight)$-modules and to obtain their super fusion rules. The latter are obtained in a second way from Verlinde's formula for vertex operator superalgebras. Finally, using again the theory of vertex algebra extensions, we find all simple modules and their fusion rules of the parafermionic coset $C_k = ext{Com}\left(V_L, L_k\left(\mathfrak{osp}(1 | 2) ight) ight)$ where $V_L$ is the lattice vertex operator algebra of the lattice $L=\sqrt{2k}\mathbb{Z}$.

연구 동기 및 목표

• 버텍스 텐서 범주와 모듈라 형식을 사용하여 버텍스 연산자 슈퍼대수의 표현 이론을 체계적으로 연구하는 방법을 개발하는 것.
• 특히 양의 정수 $k$에 대해, 허용 수준 $k$에서 $L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$의 모든 단순 국소 및 라몬-틀림 모듈을 분류하는 것.
• 버린드의 공식을 통해 $L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$의 초융합 규칙을 계산하고, 확장 이론을 통해 이를 확인하는 것.
• 여기서 $V_L$는 $L = \sqrt{2k}\mathbb{Z}$의 격자 버텍스 대수인 파라페르미온 코셋 $C_k = \mathrm{Com}(V_L, L_k(\mathfrak{osp}(1|2)))$의 융합 규칙을 결정하는 것.

제안 방법

• 자코비 형식 분해를 사용하여 $L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$의 특성함수를 $L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathrm{Vir}(p, \Delta/2)$의 특성함수로 표현하며, $k + 3/2 = p/(2p')$ 및 $\Delta = p + p'$.
• 버텍스 대수 확장을 이론적으로 적용하여 $L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$를 $L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathrm{Vir}(p, \Delta/2)$의 확장으로 표현하며, 표현 범주 내의 대수 대상 사용.
• 확장된 버텍스 연산자 슈퍼대수의 국소 모듈을 구성하기 위해 $\mathrm{Rep}^0 A$에서 유도 함수 $\mathcal{F}$를 활용.
• 범주론적 $S$-행렬과 황의 정리를 사용하여 모듈라 $S$-행렬과 프로페르스-페르론 차원을 연결하고, 버린드의 공식을 통해 융합 규칙을 계산.
• 결과를 [CKLR, CKM]에 적용하여 짝수 부분 $\mathcal{L}_k^{\mathrm{even}}$를 이용해 $C_k$-모듈을 $\mathcal{L}_k^{\mathrm{even}}$-모듈의 부분모듈로 분류하고, 국소 또는 틀림 $\mathcal{L}_k$-모듈로 올림.
• 스테이트 함수와 $\theta_{L+\nu}(u,\tau)$ 및 $\eta(\tau)$를 포함한 특성 항등식을 사용하여 $C_k$-모듈의 $S$-변환과 $T$-변환에 대한 명시적 공식 유도.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확장 이론을 사용하여 알려진 유계 버텍스 대수에서 $L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$의 표현 이론을 체계적으로 유도할 수 있는가?
• RQ2 허용 수준 $k$에 대해, 단순 국소 및 라몬-틀림 $L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$-모듈의 완전한 분류는 무엇인가?
• RQ3 기저 범주의 모듈라 자료를 통해 버린드의 공식과 초융합 규칙이 어떻게 유도되는가?
• RQ4 파라페르미온 코셋 $C_k = \mathrm{Com}(V_L, L_k(\mathfrak{osp}(1|2)))$의 구조는 무엇이며, 그 융합 규칙은 어떻게 계산되는가?
• RQ5 유도와 특성 함수 올림을 통해 $C_k$-특성함수의 모듈라 변환은 $\mathcal{L}_k$-모듈의 것과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 양의 정수 $k$에 대해, $L_k(\mathfrak{osp}(1|2))$는 유계적이며 $C_2$-코히어런트하여 유한하고 단순한 표현 범주를 보장한다.
• 국소 $\mathcal{L}_k$-모듈의 범주는 $A$가 $L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathrm{Vir}(p, \Delta/2)$를 확장하는 대수 대상인 $\mathrm{Rep}^0 A$와 브레드 등가이다.
• 모든 단순 국소 및 라몬-틀림 $\mathcal{L}_k$-모듈은 $L_k(\mathfrak{sl}_2) \otimes \mathrm{Vir}(p, \Delta/2)$에서 유도를 통해 분류되며, 총 $4k+4$개의 기약 모듈이 존재한다.
• 초융합 규칙는 $\widetilde{S}$-행렬을 사용한 버린드의 공식을 통해 계산되며, $r$-성질의 짝수와 홀수에 따라 별도의 표현이 존재한다.
• 파라페르미온 코셋 $C_k$는 $2k+2$개의 서로 비동치의 단순 모듈 $C_{\lambda,r}$을 가지며, $\lambda \in L'/L$ 및 $1 \leq r \leq 2k+2$로 인덱싱되며, 융합 규칙는 $C_{\lambda,r} \boxtimes C_{\mu,r'} \cong \bigoplus_{r''} N_{r,r'}^{r''} C_{\lambda+\mu,r''}$이다.
• $C_k$의 $S$-행렬은 $\lambda, \mu \notin 2L'/L$일 때 $S^{\chi,C}_{C_{\lambda,r_1}, C_{\mu,r_2}} \cdot e^{2\pi i \langle \lambda,\mu \rangle} \cdot \sqrt{k/2} = (-1)^{r+r'} s_{r,r'}$로 결정되며, 다른 경우에도 유사한 표현이 존재한다.