[논문 리뷰] Representation theory of logics: a categorial approach

Darllan Conceição Pinto, Hugo Luiz Mariano|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 10.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 Blok-Pigozzi 대수화 가능한 논리학 기반의 Morita 동치를 이용한 논리학의 범주론적 표현 이론을 제안하여 논리학 범주 내의 동일성 문제를 해결한다. 고전 논리학은 안정적으로 왼쪽-Morita 동치임을 입증하고, 고전 논리학과 직관 논리학은 오직 안정적으로 Morita 수반 관계에 놓여 있음을 보이며, 범주론적 불변량을 통한 논리학 간 비교를 위한 새로운 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

The major concern in the study of categories of logics is to describe condition for preservation, under the a method of combination of logics, of meta-logical properties. Our complementary approach to this field is study the "global" aspects of categories of logics in the vein of the categories $\Ss, \Ls, \cA_s$ studied in \cite{AFLM3}. All these categories have good properties however the category of logics $\cL$ does not allow a good treatment of the "identity problem" for logics (\cite{Bez}): for instance, the presentations of "classical logics" (e.g., in the signature $\{ eg, \vee\}$ and $\{ eg', ightarrow'\}$) are not $\Ls$-isomorphic. In this work, we sketch a possible way to overcome this "defect" (and anothers) by a mathematical device: a representation theory of logics obtained from category theoretic aspects on (Blok-Pigozzi) algebraizable logics. In this setting we propose the study of (left and right) "Morita equivalence" of logics and variants. We introduce the concepts of logics (left/right)-(stably) -Morita-equivalent and show that the presentations of classical logics are stably Morita equivalent but classical logics and intuitionist logics are not stably-Morita-equivalent: they are only stably-Morita-adjointly related.

연구 동기 및 목표

• 논리학 범주 내에서 동일한 논리의 서로 다른 구조적 표현(예: {¬,∨}에서의 고전 논리와 {¬′,→′}에서의 고전 논리)이 기존 범주론적 구조에서 서로 이sov모르게 되는 '동일성 문제'를 해결하기 위해.
• Blok-Pigozzi 대수화 가능한 논리학에 범주론적 도구를 적용하여 논리학의 표현 이론을 개발하기 위해.
• 왼쪽 및 오른쪽 안정적 Morita 동치 및 수반 관계를 가진 논리학을 도입하고 형식화하여 의미론적 동일성을 더 잘 반영하는 새로운 동치 관계를 제안하기 위해.
• 논리학의 수학적 불변량을 정의하고 표현 다이어그램을 통한 함자적 사상이 가능하도록 하기 위해.
• 범주론적 논리학의 적용 범위를 확장하여 고전 논리학과 직관 논리학을 포함한 다양한 논리 체계 간에 안정적인 비교를 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 엄격한 서명 사상이 함의 관계를 유지하는 쌍 $(\Sigma, \vdash)$로 구성된 논리학의 범주 $\mathcal{L}_s$를 정의한다.
• 논리학의 모델에서 유도된 범주와 함자로 구성된 표현 다이어그램(left(l) 및 right(l))의 개념을 도입한다.
• 논리학 $l \to U$를 따라 $QV(cod(f))$의 코어디네이트 함자에 대한 코일리미트 다이어그램 간의 준역치 등가를 통해 왼쪽 안정적 Morita 동치를 구성한다.
• Lindenbaum 대수화 과정을 사용하여 임의의 논리학에 대수화 가능한 논리학을 연결함으로써 범주론적 등가를 이전할 수 있도록 한다.
• 헤이팅 대수에서 $a \sim \neg\neg a$에 대한 합동을 통해 몫을 취함으로써 헤이팅 대수에서 부울 대수로의 함자 $L: HA \to BA$를 정의하여 직관 논리학과 고전 논리학 범주 간의 수반 관계를 수립한다.
• 오른쪽 측면 표현을 형식화하기 위해 2-범주적 구조를 적용하여 왼쪽 측면 분석과 개념적·기술적으로 구별된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 범주론적 원리를 적용한 논리학의 표현 이론을 개발하여 논리학 범주 내의 동일성 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ2 제안된 프레임워크 하에서 고전 논리학의 다양한 표현(예: {¬,∨}와 {¬′,→′})은 안정적으로 Morita 동치인가?
• RQ3 새로운 Morita 동치 관계 하에서 고전 논리학과 직관 논리학은 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 표현 다이어그램 $left(l)$ 및 $right(l)$에서 논리학 간 함자적 사상이 유도될 수 있는가?
• RQ5 임의의 논리학 간의 차이 정도를 측정할 수 있는 일반적인 수학적 불변량은 무엇인가?

주요 결과

• {¬,∨}와 {¬′,→′}에서의 고전 논리학 표현은 새로운 프레임워크 하에서 안정적으로 왼쪽-Morita 동치임을 확인하여 의미론적 동일성을 입증한다.
• 고전 논리학과 직관 논리학은 안정적으로 Morita 동치가 아니지만, $a \sim \neg\neg a$에 대한 합동을 통해 헤이팅 대수를 몫 취함으로써 $L: HA \to BA$를 통해 안정적으로 Morita 수반 관계에 놓여 있다.
• $\mathcal{L}_s$ 범주는 동일성 문제를 해결하지 못한다. 고전 논리학의 서로 다른 표현은 $\mathcal{L}_s$-이sov모르게 되어 있으나, 새로운 Morita 동치는 이를 해결한다.
• 왼쪽 안정적 Morita 동치는 표준 Morita 동치보다 엄격히 강력하다. 이는 $l \cong l' \Rightarrow$ 왼쪽 안정적 Morita 동치임을 보여주는 함의 관계로 나타난다.
• 표현 다이어그램 $left(l)$ 및 $right(l)$는 오른쪽 측면 처리에 필수적인 2-범주적 구조를 유도하며, 이는 왼쪽 측면 분석과 개념적으로·기술적으로 구별된다.
• $l$와 조밀 사상 $f: l \to a'$로부터 $a = (\alpha, h^\star(\vdash_{a'}))$를 구성하면, 이는 Lindenbaum 대수화 가능한 논리학이 되며, 대수적 구조를 유지하고 몫 범주에서의 약한 동치를 가능하게 한다.