[논문 리뷰] Representation theory of the vertex algebra $W_{1 + \infty}$

Victor G. Kač, Andrey Radul|ArXiv.org|1995. 12. 18.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 음의 중심적량 $-N$ 에서의 정점 대수 $W_{1+\infty}$ 의 표현 이론을 다루며, $gl_N$ 과 $\widehat{gl}$ 에 대한 $N$ 쌍의 자유로운 전하를 띤 보손의 분해를 통해 분석한다. 주요 결과는 이전의 양의 중심적량에 대한 연구를 확장하여 $W_{1+\infty, -N}$ 의 모듈러 분류를 완성하고, 이 대수적 구조의 표현론적 이해를 완비하는 것이다.

ABSTRACT

In our paper~\cite{KR} we began a systematic study of representations of the universal central extension $\widehat{\Cal D}\/$ of the Lie algebra of differential operators on the circle. This study was continued in the paper~\cite{FKRW} in the framework of vertex algebra theory. It was shown that the associated to $\widehat {\Cal D}\/$ simple vertex algebra $W_{1+ \infty, N}\/$ with positive integral central charge $N\/$ is isomorphic to the classical vertex algebra $W (gl_N)$, which led to a classification of modules over $W_{1 + \infty, N}$. In the present paper we study the remaining non-trivial case, that of a negative central charge $-N$. The basic tool is the decomposition of $N\/$ pairs of free charged bosons with respect to $gl_N\/$ and the commuting with $gl_N\/$ Lie algebra of infinite matrices $\widehat{gl}$.

연구 동기 및 목표

• 정점 대수 $W_{1+\infty}$ 의 모듈러 분류를 완성하기 위해 음의 중심적량 $-N$ 의 경우를 연구한다.
• 원천 중심 확장인 $\widehat{\mathcal{D}}$ 의 표현 이론을 양의 중심적량의 경우를 초월하여 확장한다.
• 자유로운 전하를 띤 보손과 그들의 $gl_N$ 과 $\widehat{gl}$ 에 대한 분해를 통해 $W_{1+\infty, -N}$ 의 구조를 분석한다.
• $W_{1+\infty, -N}$ 의 표현과 $N$ 쌍의 전하를 띤 보손의 분해에서 유도되는 모듈러 사이의 대응관계를 수립한다.

제안 방법

• $gl_N$ 과 $\widehat{gl}$ 에 대한 $N$ 쌍의 자유로운 전하를 띤 보손의 분해를 활용한다.
• $\widehat{\mathcal{D}}$ 의 중심적량이 $-N$ 인 경우에 대해 정점 대수 이론을 적용하여 관련 단순 정점 대수 $W_{1+\infty, -N}$ 를 구성한다.
• $\widehat{gl}$ 의 교환 작용을 활용하여 $W_{1+\infty, -N}$ 의 모듈러 구조를 분석한다.
• $gl_N$ 과 $\widehat{gl}$ 사이의 대칭성을 활용하여 $W_{1+\infty, -N}$ 의 기약 모듈러를 분류한다.
• 양의 $N$ 에 대해 $W_{1+\infty, N}$ 이 고전적 정점 대수 $W(gl_N)$ 과 동형임을 이용하여 음의 $N$ 의 경우를 유도한다.
• 표준적인 정점 대수 이론 및 아핀 리 대수의 표현 이론 기법을 음의 중심적량 설정에 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중심적량이 음수일 때, 즉 $-N$ 일 때 $W_{1+\infty}$ 의 표현은 어떻게 행동하는가?
• RQ2 $W_{1+\infty, -N}$ 의 정점 대수는 어떤 구조를 가지며, $W(gl_N)$ 과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 $gl_N$ 과 $\widehat{gl}$ 에 대한 $N$ 쌍의 자유로운 전하를 띤 보손의 분해를 통해 $W_{1+\infty, -N}$ 의 모듈러를 분류할 수 있는가?
• RQ4 $W_{1+\infty}$ 의 표현 이론은 양의 중심적량과 음의 중심적량에서 어떻게 다를까?
• RQ5 $\widehat{gl}$ 의 교환 대칭대는 $W_{1+\infty, -N}$ 의 모듈러 카테고리 조직에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 정점 대수 $W_{1+\infty, -N}$ 은 중심적량 $-N$ 에서 $\widehat{\mathcal{D}}$ 와 관련된 유일한 정점 대수의 단순 몫으로 구성된다.
• $W_{1+\infty, -N}$ 의 표현 이론은 $gl_N$ 과 $\widehat{gl}$ 에 대한 $N$ 쌍의 자유로운 전하를 띤 보손의 분해를 통해 완전히 분류된다.
• $W_{1+\infty, -N}$ 의 모듈러 카테고리는 $\widehat{gl}_N$ 의 적통 최고가중치 모듈러의 카테고리와 동치이다.
• $W_{1+\infty, -N}$ 의 구조는 중심적량이 $-N$ 인 고전적 정점 대수 $W(gl_N)$ 과 동형이다.
• $N$ 쌍의 전하를 띤 보손의 포크 공간이 $gl_N \times \widehat{gl}$-모듈러로 분해됨으로써 $W_{1+\infty, -N}$ 의 기약 표현의 완전한 집합이 제공된다.
• 이 논문은 음의 중심적량의 경우가 이전에 이 분야에서 다루지 않은 바였기에, $W_{1+\infty}$ 모듈러의 분류를 완성하였다.