[논문 리뷰] Representation theory of W-algebras, II: Ramond twisted representations

Tomoyuki Arakawa|arXiv (Cornell University)|2008. 02. 12.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 f가 양호한 짝수 중급을 갖는 경우, 애핀 W대수 𝒲ᵏ(ℊ̄,f)의 라몬 꼬임 표현에 대해 BRST 코homology의 소멸성과 거의 기약성을 확립하며, 카크와 워키모토의 추측을 확인한다. 유형 A에서는 비임계 수준에 대해 모든 기약 일반 라몬 꼬임 표현의 특징을 결정하고, [KW5]에서 추측한 모듈라 불변 표현의 존재를 증명한다.

ABSTRACT

We study the Ramond twisted representations of the affine W-algebra W^k(g,f) in the case that f admits a good even grading. We establish the vanishing and the almost irreducibility of the corresponding BRST cohomology. This confirms some of the recent conjectures of Kac and Wakimoto. In type A, our results give the characters of all irreducible ordinary Ramond twisted representations of W^k(sl_n,f) for all nilpotent elements f and all non-critical k, and prove the existence of modular invariant representations conjectured by Kac and Wakimoto.

연구 동기 및 목표

• f가 양호한 짝수 중급을 갖는 경우, 애핀 W대수 𝒲ᵏ(ℊ̄,f)의 라몬 꼬임 표현을 연구하는 것.
• 이 설정에서 BRST 코homology의 소멸성과 거의 기약성을 확립하는 것.
• 카크와 워키모토의 [KW5]에서 제기한 BRST 코homology 함자에 대한 추측 B를 확인하는 것.
• 비임계 수준 k에 대해 𝒲ᵏ(𝔰𝔩ₙ,f)의 모든 기약 일반 라몬 꼬임 표현의 특징을 결정하는 것.
• 모듈라 불변 표현의 존재를 [KW5]에서 추측한 바와 같이 증명하는 것.

제안 방법

• 수준 k에서의 애핀 카크-무디 대수 𝔤의 표현에서 라몬 꼬임 표현으로의 BRST 코homology 함자 H⁰ᴮᴿˢᵀ(⋅)를 활용.
• 정점 대수의 σᴿ-꼬임 작용과 호환되는 BRST 복합체에 대한 필터레이션을 사용한 스펙트럴 시퀀스 추론.
• 유한 W대수 𝒲ᶠⁱⁿ(ℊ̄,f)에 대한 윌리엄슨 함자와 BRST 코hom로의 상단 부분 간의 동형을 기반으로 하는 것.
• duality와 PBW 유형의 동형을 사용하여 스펙트럴 시퀀스의 E¹ 및 E∞ 페이지를 분석.
• p+q≠0일 때 스펙트럴 시퀀스가 E¹에서 분해됨을 이용하여, 비영도수에서의 코homology 소멸을 이끌어내는 것.
• 브룬단과 켈레슈체프의 유한 W대수 이론을 유형 A에 적용하여, 거의 기약성에서 기약성을 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 f가 양호한 짝수 중급을 갖는 경우, 라몬 꼬임 표현에 대해 BRST 코homology Hⁿᴮᴿˢᵀ(M)가 비영도수 n≠0에서 소멸하는가?
• RQ2 상단 부분이 정점 대수의 주르 알제브라 위에서 기약일 경우, BRST 코homology는 거의 기약인가?
• RQ3 주요 적응 표현 L(λ)에 대해 H⁰ᴮᴿˢᵀ(L(λ))의 오일러-포이아르 특징이 유형 A에서 모듈라 불변 함수를 이룬다.
• RQ4 모든 기약 일반 라몬 꼬임 표현의 특징은 𝔤의 최고 무게 모듈러의 BRST 감소를 통해 결정될 수 있는가?
• RQ5 모듈라 불변 특징을 갖는 표현들은 실제로 카크와 워키모토의 추측에 따르면 기약 라몬 꼬임 표현인가?

주요 결과

• M이 이중-베르마 모듈러 M₀(λ)*일 경우, 모든 n≠0에 대해 BRST 코homology Hⁿᴮᴿˢᵀ(M)가 소멸함을 확인하여, 스펙트럴 시퀀스 분석에서 소멸 성질을 확인.
• BRST 코호몰로지 H⁰ᴮᴿˢᵀ(M₀(λ)*)는 거의 기약이며, 유형 A에서는 이는 유한 W대수의 윌리엄슨 함자의 구조 덕분에 기약성을 암시함.
• 유형 A에서는, k가 임계가 아닐 경우, 𝒲ᵏ(𝔰𝔩ₙ,f)의 모든 기약 일반 라몬 꼬임 표현의 특징이 해당 최고 무게 모듈러 L(λ)의 특징으로 결정됨.
• 주요 적응 표현 L(λ)에 대해 H⁰ᴮᴿˢᵀ(L(λ))의 오일러-포이아르 특징은 모듈라 불변이며, 이는 [KW5]에서 추측한 바와 같이 그러한 표현의 존재를 확인.
• BRST 코호몰로지의 상단 부분은 유한 W대수 𝒲ᶠⁱⁿ(ℊ̄,f)에 대한 윌리엄슨 모듈러와 동형이며, 이는 BRST 코호몰로지의 연구를 유한 W대수의 표현 이론으로 환원함.
• 유형 A에서는, 𝒲ᵏ(𝔰𝔩ₙ,f)의 모든 기약 일반 라몬 꼬임 표현이 어떤 기약 최고 무게 모듈러 L(λ)의 H⁰ᴮᴿ🇸ᵀ(L(λ))로 나타남.