[논문 리뷰] Representations attached to vector bundles on curves over finite and p-adic fields, a comparison

Christopher Deninger|ArXiv.org|2009. 03. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 p진 수체 위의 곡선 위의 벡터(bundle)에 부착된 갈로아 표현과 그 특수 섹션의 기본군 사이의 정확한 연결 고리를 설정한다. p진 갈로아 표현의 mod 𝔪 축소가 강한 준안정성 감소를 갖는 벡터(bundle)에 관련된 표현의 경우, 특수 섹션의 기본군을 통해 인식되며, 노리의 기본군 스킴 이론을 사용하여 결과로 나오는 mod 𝔪 표현이 본질적으로 유한하다고 분류됨을 증명한다.

ABSTRACT

For a vector bundle E on a model of a smooth projective curve over a p-adic number field a p-adic representation of the geometric fundamental group of X has been defined in work with Annette Werner if the reduction of E is strongly semistable of degree zero. In the present note we calculate the reduction of this representation using the theory of Nori's fundamental group scheme.

연구 동기 및 목표

• p진 수체 위의 곡선 위의 벡터(bundle)에 부착된 갈로아 표현의 mod 𝔪 축소를 이해하기 위해.
• p진 표현과 유한체 위의 특수 섹션의 기본군 사이의 관계를 명확히 하기 위해.
• 강한 준안정성 감소를 갖는 벡터(bundle)에 관련된 표현의 mod 𝔪 축소가 특수 섹션의 기본군을 통해 인식됨을 보여주기 위해.
• 노리의 기본군 스킴 이론을 적용하여 결과로 나오는 mod 𝔪 표현을 본질적으로 유한한 것으로 분류하기 위해.

제안 방법

• 곡선 X의 모델 𝔛를 올리스름(𝔬) 위에서 고려하며, ℂ_p 위의 X_{ℂ_p} 위의 벡터(bundle) E를 확장하는 𝔛ₒ 위의 벡터(bundle) ℰ를 사용한다.
• ℰ가 특수 섹션 𝔛_k 위에서 차수 0의 강한 준안정성 감소를 갖는 조건을 도입한다.
• DW2의 이론을 적용하여 ℰ_{xₒ} 위의 격자에서 연속적인 p진 갈로아 표현 ρ_{ℰ,xₒ}를 구성한다.
• 이 표현을 𝔪로 나눈 나머지로 축소하여 GL(ℰ_{x_k}) 값을 갖는 표현 ρ_{ℰ,xₒ} ⊗ k 를 얻는다.
• 노리의 기본군 스킴 π(Z,z)를 적용하여 특수 섹션 Z = 𝔛^red_k 위의 본질적으로 유한한 벡터(bundle)를 분류한다.
• 탄나카 이중성과 유한 에탈 코버링에 따른 당김의 호환성을 사용하여 π₁(X,x)와 π₁(𝔛^red_k, x_k)를 포함하는 도형의 교환성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ℂ_p 위의 곡선 위의 벡터(bundle)에 부착된 p진 갈로아 표현의 mod 𝔪 축소는 𝔽_p 위의 특수 섹션의 기본군과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 이러한 표현의 mod 𝔪 축소가 특수 섹션의 기본군을 통해 인식되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 노리의 기본군 스킴을 사용하여 이러한 표현의 mod 𝔪 축소를 분류할 수 있는가?
• RQ4 표현 ρ_{ℰ,xₒ}의 mod 𝔪 축소는 본질적으로 유한한가? 만약 그렇다면 특수 섹션의 기하학과는 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 표현 ρ_{ℰ,xₒ} 자체가 전이 사상 π₁(X,x) → π₁(𝔛^red_k, x_k)를 통해 인식되는가, 아니면 오직 그 mod 𝔪 축소만 그렇단 말인가?

주요 결과

• p진 갈로아 표현 ρ_{ℰ,xₒ}의 mod 𝔪 축소는 전이 사상 π₁(X,x) → π₁(𝔛^red_k, x_k)를 통해 인식된다.
• 축소된 표현 ρ_{ℰ,xₒ} ⊗ k 는 특수 섹션의 축소된 부분 𝔛^red_k 위에 제한된 ℰ의 제한 ℰ^red_k 를 통해 노리의 기본군 스킴을 통해 얻어진 표현과 동형이다.
• 𝔛^red_k 위의 벡터(bundle) ℰ^red_k 는 본질적으로 유한하다. 즉, 유한군 스킴 토르서로부터 유래된다.
• 표현이 유한 에탈 코버링을 통해 자명화되는 데 대한 호환성에 기반하여 π₁(X,x), π₁(𝔛^red_k, x_k), 그리고 GL(ℰ_{x_k})를 포함하는 도형의 교환성이 확립된다.
• ℰ가 특수 섹션에서 강한 준안정성 감소를 갖는 차수 0 조건을 만족할 때 이 결과가 성립한다.
• 예시는 ρ_{ℰ,xₒ} 자체는 π₁(𝔛^red_k, x_k)를 통해 인식되지 않지만, 오직 그 mod 𝔪 축소만 그러한 것을 보여주며, 이는 축소의 필요성을 강조한다.