[논문 리뷰] Representations of cross product algebras of Podles quantum spheres

Konrad Schmuedgen, Elmar Wagner|ArXiv.org|2003. 05. 22.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $\mathcal{O}(\mathrm{S}^2_{qr}) \rtimes \mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$의 기약 적분 가능한 *-표류를 분류하며, 이들이 프로젝티브 호프 모듈러스 $M_j$에서 유래하는 표현 $\pi_j$와 유니타리 동치임을 보여준다. $\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$가 이러한 모듈러스의 직교 직합으로 분해됨을 확립하고, 명시적인 투영과 카라비-차이 수를 계산하며, 힐버트 공간 작용을 통한 두 가지 동치인 표현 구축 방법을 제시한다.

ABSTRACT

Hilbert space representations of the cross product *-algebras of the Hopf *-algebra U_q(su_2) and its module *-algebras O(S^2_{qr}) of Podles spheres are investigated and classified by describing the action of generators. The representations are analyzed within two approaches. It is shown that the Hopf *-algebra O(SU_q(2)) of the quantum group SU_q(2) decomposes into an orthogonal sum of projective Hopf modules corresponding to irreducible integrable *-representations of the cross product algebras and that each irreducible integrable *-representation appears with multiplicity one. The projections of these projective modules are computed. The decompositions of tensor products of irreducible integrable *-representations with spin l representations of U_q(su_2) are given. The invariant state h on O(S^2_{qr}) is studied in detail. By passing to function algebras over the quantum spheres S^2_{qr}, we give chart descriptions of quantum line bundles and describe the representations from the first approach by means of the second approach.

연구 동기 및 목표

• cross product *-대수 $\mathcal{O}(\mathrm{S}^2_{qr}) \rtimes \mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$의 모든 기약 적분 가능한 *-표류를 분류하는 것.
• 호프 *-대수 $\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$가 각각 기약 *-표류 $\pi_j$에 대응하는 프로젝티브 호프 모듈러스 $M_j$의 직교 직합으로 분해됨을 보이는 것.
• 모듈러스 $M_j$ 위로의 투영을 명시적으로 계산하고, 그들의 카라비-차이 수를 결정하는 것.
• 두 가지 표현 구축 방법 사이의 대응 관계를 설정하는 것: 하나는 모듈러스 분해를 통한 방식이고, 다른 하나는 함수 대수의 작용을 통한 방식이다.

제안 방법

• 스키우-프리미티브 원소 $X_r \in \mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$를 사용하여 $\mathrm{S}^2_{qr}$를 $\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$ 내의 $X_r$-불변 원소들의 부분대수로 정의한다.
• Müller과 Schneider의 충실 평탄성 및 군-유사 생성자에 관한 결과를 활용하여 $\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$를 프로젝티브 호프 모듈러스 $M_j$의 직교 직합으로 분해한다.
• 스핀 $l$ 표현에 대한 $\mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$의 무게 벡터에 대한 정규수직 기저 위에서 생성자들의 작용을 묘사함으로써 힐버트 공간 표현 $\pi_j$를 구성한다.
• 두 번째 접근법으로는 $L^2(\mathrm{S}^2_{qr})^{2|j|+1}P_j$ 위에서 유계 연산자로 표현을 실현하고, 표준형식을 사용하여 $\mathcal{O}(\mathrm{S}^2_{qr})$에서의 표현을 확장한다.
• 밀도가 있는 정의도메인에서 작용이 호환됨을 검증하고 켤레 관계를 확인함으로써 두 표현 접근법 간의 유니타리 동치를 증명한다.
• 일반적으로 알려진 공식을 복구하고 이전의 구성과의 일致성을 검증하기 위해 $j=0$인 경우 힐베르트 표현을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기약 적분 가능한 *-표류 $\mathcal{O}(\mathrm{S}^2_{qr}) \rtimes \mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$의 분류 방법은 무엇인가?
• RQ2 호프 *-대수 $\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$는 이러한 표현들과 대응하는 직교 프로젝티브 모듈러스로 어떻게 분해되는가?
• RQ3 힐버트 공간 표현에서 정규수직 기저 위에서 생성자들의 작용에 대한 명시적 공식은 무엇인가?
• RQ4 모듈러스 분해를 통한 표현 구축과 함수 대수 작용을 통한 표현 구축이라는 두 가지 다른 접근법 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 각 모듈러스 $M_j$ 위로의 투영의 카라비-차이 수는 무엇이며, 어떻게 계산되는가?

주요 결과

• 호프 *-대수 $\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$는 각각 기약 적분 가능한 *-표류 $\pi_j$에 대응하는 프로젝티브 호프 모듈러스 $M_j$의 직교 직합으로 분해된다.
• 각 기약 적분 가능한 *-표류 $\pi_j$는 $\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$의 분해에서 중복도 1로 나타난다.
• 모듈러스 $M_j$ 위로의 투영은 명시적으로 계산되었고, 그들의 카라비-차이 수가 결정되었다.
• 기약 적분 가능한 *-표류 $\pi_j$와 $\mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$의 스핀 $l$ 표현 $T_l$의 텐서곱은 명시적인 중복도 공식을 가진 표현 $\pi_k$의 직합으로 분해된다.
• 일반적으로 알려진 공식을 복구하고 이전의 구성과의 일致성을 검증하기 위해 $j=0$인 경우 표현 $\pi_0$는 힐베르트 표현이며, $\mathcal{O}(\mathrm{S}^2_{qr}) \subset \mathcal{F}_{\mathrm{b}}(\mathrm{S}^2_{qr})$ 위에서 생성자들의 작용은 좌측 곱과 우측 곱으로 주어진다.
• 두 표현 접근법은 유니타리 동치이다: 첫 번째는 모듈러스 분해를 통한 방식이고, 두 번째는 $L^2(\mathrm{S}^2_{qr})^{2|j|+1}P_j$ 위에서의 유계 연산자 작용을 통한 방식이며, 밀도가 있는 정의도메인에서 작용이 일致한다.