[논문 리뷰] Representations of Group Algebras in Spaces of Completely Bounded Maps

Roger R. Smith, Nico Spronk|ArXiv.org|2003. 10. 27.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $̺_G: \mathrm{M}(G) \to \mathcal{CB}^\sigma(\mathcal{B}(\mathcal{H}))$에 의해 정의된 사상 $̺_G(\mu) = \int_G \pi(s) \otimes \pi(s)^* \, d\mu(s)$의 범위를 분석하며, 이는 확장된 하아거루프 텐서곱 $̺(\mathcal{H}) \otimes^{eh} \mathcal{B}(\mathcal{H})$와 일치함을 규명한다. 주요 결과는 표현 $̺$가 노름 연속일 때이고, 오직 그 때에만 $̺_G(\mathrm{L}^1(G)) \subset \mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$임을 보이며, 이는 노름 연속성의 특성화를 텐서곱의 구조를 통해 제공한다.

ABSTRACT

Let G be a locally compact group, M(G) denote its measure algebra and L^1(G) denote its group algebra. Also, let pi:G->U(H) be a strongly continuous unitary representation, and let CB^{sigma}(B(H)) be the space of normal completely bounded maps on B(H). We study the range of the map Gamma_pi:M(G)->CB^sigma(B(H)), Gamma_pi(mu)= int_G pi(s)\otimes pi(s)^*dmu(s) where we identify CB^sigma(B(H)) with the extended Haagerup tensor product B(H)\otimes^{eh}B(H)$. We use the fact that the C*-algebra generated by integrating pi to L^1(G) is unital exactly when pi is norm continuous to show that Gamma_pi(L^1(G))\subset B(H)\otimes^{eh}B(H) exactly when pi is norm continuous. For the case that G is abelian, we study Gamma_pi(M(G)) as a subset of the Varopoulos algebra. We also characterise positive definite elements of the Varopoulos algebra in terms of completely positive operators.

연구 동기 및 목표

• 측도 대수 $\mathrm{M}(G)$에서 $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ 위의 정규 완전유계 사상 공간으로의 사상 $\Gamma_\pi$의 범위를 이해하는 것.
• $\mathrm{L}^1(G)$의 이미지가 $\Gamma_\pi$에 의해 $\mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$에 포함되는 조건을 규명하는 것.
• $\Gamma_\pi(\mathrm{M}(G))$의 푸리에-슈틸체스 변환으로부터 유도되는 바르코프라 대수 $\mathrm{V}^b(E_\pi)$ 내의 양성 및 완전양성 원소를 특성화하는 것.
• $E_\pi$의 스펙트럴 지지의 위상적 구조와 $f \in \mathrm{L}^1(G)$에 대해 $\Gamma_\pi(f)$의 텐서곱 소속성 간의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 저자들은 $\mathcal{CB}^\sigma(\mathcal{B}(\mathcal{H}))$를 확장된 하아거루프 텐서곱 $\mathcal{B}(\mathcal{H}) \otimes^{eh} \mathcal{B}(\mathcal{H})$로의 동치를 쌍대성과 연산자 급수의 약한* 수렴을 통해 이용한다.
• 푸리에-슈틸체스 변환을 사용하여 $\Gamma_\pi$를 분석함으로써 $\Gamma_\pi(\mu)$를 $E_\pi \times E_\pi$ 위의 함수로 연결하고, 이는 바르코프라 대수 $\mathrm{V}^b(E_\pi)$로 이어진다.
• 완전양성 사상에 관한 결과를 적용하여 $\Gamma_\pi(\mu)$가 완전양성임을 특성화하며, 이는 $E_\pi \times E_\pi$ 위에서 $\sigma, \tau \mapsto \hat{\mu}(\sigma \tau^{-1})$의 양성정의성과 연결된다.
• 핵심 기법은 $\mathcal{C}^*_\pi$가 유니탈일 때이고, 오직 그 때에만 $\pi$가 노름 연속임을 보여주는 사실을 사용하여 텐서곱 소속성을 특성화하는 데 쓰인다.
• 예를 들어 $G = \mathbb{T}$이고 $\pi(z)\xi_n = z^{n^2}\xi_n$일 때, 특정 스펙트럴 조건 하에서 $\pi$가 노름 연속이 아니어도 $\Gamma_\pi(f) \in \mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$임을 보여주는 명시적 예를 구성한다.
• 아벨 군 위의 푸리에 변환을 활용하여 $\Gamma_\pi$의 이미지를 $\hat{f}$의 지지와 $E_\pi \cap \sigma E_\pi$ 간의 상호작용을 통해 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 언제 $\Gamma_\pi(\mathrm{L}^1(G))$의 이미지가 하아거루프 텐서곱 $\mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$에 포함되는가?
• RQ2 강한 연속성과 유니터리 표현 $\pi$의 노름 연속성은 $\Gamma_\pi(\mathrm{L}^1(G))$의 텐서곱 구조로 어떻게 특성화되는가?
• RQ3 $\Gamma_\pi(\mu)$의 완전양성은 $\mu$의 푸리에-슈틸체스 변환으로 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ4 $G$와 $\pi$에 대해 어떤 조건에서 $\Gamma_\pi$는 $\mathrm{L}^1(G)$ 위에서 단사적이거나 등거리인가?
• RQ5 $\pi$가 노름 연속이 아니어도 $f \in \mathrm{L}^1(G)$에 대해 $\Gamma_\pi(f)$가 $\mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$에 속하는가?

주요 결과

• $\Gamma_\pi(\mathrm{L}^1(G))$의 이미지가 $\mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$에 포함되는 것은 $\pi$가 노름 연속일 때이고, 오직 그 때에만 성립한다.
• 아벨 군 $G$에 대해 $\Gamma_\pi$의 범위는 바르코프라 대수 $\mathrm{V}^b(E_\pi)$로 식별되며, $\Gamma_\pi(\mu)$가 완전양성임은 $E_\pi \times E_\pi$ 위에서 $\sigma, \tau \mapsto \hat{\mu}(\sigma \tau^{-1})$가 양성정의일 때이다.
• $\Gamma_\pi$의 핵심은 $\{\mu \in \mathrm{M}(G) : \hat{\mu}|_{E_\pi E_\pi^{-1}} = 0\}$이며, 이는 $\hat{\mu}$가 차집합 $E_\pi E_\pi^{-1}$에서 0이 아닐 때에만 $\Gamma_\pi$가 단사임을 보여준다.
• 명시적 예를 통해 $\pi$가 노름 연속이 아니어도 $f \in \mathrm{I}_0(G)$이고 $\hat{f}$가 어떤 $\sigma$에 대해 $E_\pi \cap \sigma E_\pi$가 컴팩트한 집합에 지지될 경우 $\Gamma_\pi(f) \in \mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi$임을 보여준다.
• $G = \mathbb{R}$이고 $E_\pi = [0, \infty)$일 때, $\Gamma_\pi$는 단사적이지만 일반적으로 등거리가 아니며, 등거리성 문제는 열려있다.
• $E_\pi = \widehat{G}$일 때, 예를 들어 왼쪽 정규 표현의 경우, $\Gamma_\pi(\mathrm{L}^1(G)) \cap (\mathcal{C}^*_\pi \otimes^h \mathcal{C}^*_\pi) = \{0\}$이 되며, 이는 $\pi$가 노름 연속이 아닐 경우 텐서곱 소속성이 드물다는 것을 보여준다.