[논문 리뷰] Representations of multimeasures via multivalued Bartle-Dunford-Schwartz integral

Luisa Di Piazza, Kazimierz Musiał외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 19.

Advanced Banach Space Theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 볼록 공간에 값을 갖는 다중측도에 대해 스칼라 함수에 대한 선택에 의존하지 않는 다중값 Bartle-Dunford-Schwartz (BDS) 적분을 제안한다. 이 적분은 지지 함수를 통해 정의되며, 균일한 스칼라 절대연속성, 지배성 및 순서화 조건 하에서 일반 및 $d_H$-다중측도에 대한 Radon-Nikodým 정리들을 가능하게 하며, 적분 가능성과 밀도 표현과 같은 핵심 결과를 제공한다.

ABSTRACT

An integral for a scalar function with respect to a multimeasure $N$ taking its values in a locally convex space is introduced. The definition is independent of the selections of $N$ and is related to a functional version of the Bartle-Dunford-Schwartz integral with respect to a vector measure presented by Lewis. Its properties are studied together with its application to Radon-Nikodym theorems in order to represent as an integrable derivative the ratio of two general multimeasures or two $d_H$-multimeasures; equivalent conditions are provided in both cases.

연구 동기 및 목표

• 다중측도 선택에 의존하지 않는 다중값 Bartle-Dunford-Schwartz 적분을 정의하기 위해.
• 균일한 스칼라 절대연속성, 지배성 및 순서화 조건을 사용하여 일반 다중측도에 대한 Radon-Nikodým 정리를 수립하기 위해.
• 비가환성의 지지 함수와 Rådström 임bedding을 고려하여 $d_H$-다중측도로 이론을 확장하기 위해.
• 가чёт 체인 조건 (ccc)과 바나흐 공간 성질을 통해 제어 측도의 존재성을 특성화하기 위해.
• 다른 다중측도에 대한 다중값 밀도 함수를 통해 한 다중측도를 적분으로 표현할 수 있는 충분한 조건을 제공하기 위해.

제안 방법

• 다중측도 $N$의 개별 선택에 의존하지 않도록 지지 함수 $s(x', N)$를 사용하여 다중값 BDS 적분을 정의하기 위해.
• 다중값 확장의 기초로 Lewis의 기능적 버전의 BDS 적분을 활용하기 위해.
• Radon-Nikodým 도함수를 위한 핵심 조건으로 균일한 스칼라 절대연속성, 지배성 및 순서화 조건을 도입하기 위해.
• 비가환성에 대응하기 위해 다중측도 미분과 벡터 측도 이론을 연결하기 위해 Rådström 임bedding $j$를 적용하기 위해.
• 가чёт 체인 조건 (ccc)과 바나흐 공간의 구조(예: $cb(X)$-다중측도)를 통해 제어 측도의 존재성을 확립하기 위해.
• 다중함수의 Pettis 및 Gelfand 적분 가능성을 활용하여 $d_H$-다중측도의 적분 표현을 가진 예시를 구성하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중측도 선택에 의존하지 않는 다중값 Bartle-Dunford-Schwartz 적분을 정의할 수 있는가?
• RQ2 다중측도 $M$이 다른 다중측도 $N$에 대해 Radon-Nikodým 도함수를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ3 Rådström 임bedding $j \circ M$의 성질은 $M$이 $N$에 대해 미분 가능할 때 어떻게 관련되는가?
• RQ4 국소적으로 볼록 공간 내 다중측도에 대해 제어 측도의 존재를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 언제 다중측도가 다중값 밀도 함수를 통해 다른 다중측도의 적분으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• 다중값 BDS 적분은 지지 함수를 통해 정의되어 다중측도의 특정 선택에 의존하지 않음을 보장한다.
• 일반적인 다중측도의 경우, Radon-Nikodým 도함수의 존재는 균일한 스칼라 절대연속성, 지배성 및 순서화 조건에 의해 특성화된다.
• $d_H$-다중측도의 경우, $M$과 그 Rådström 임bedding $j \circ M$의 Radon-Nikodým 도함수 존재를 위한 강력한 균일한 스칼라 조건(강력한 균일한 절대연속성, 지배성 및 순서화)이 필요하고 충분하다.
• 적분 표현 $M(E) = \int_E \theta \, dN$이 성립하는 것은 $f_1$이 $\theta f_2$와 스칼라적으로 동치이고 $r_1 = r_2 |\theta| \, \mu$-자연적으로 거의 확실히 성립할 때이고, $\theta$가 가측임과 동치이다.
• Rådström 임bedding $j \circ M$이 $j \circ N$에 대해 BDS 적분으로 표현될 수 있는 것은 $\theta$가 음이 아닌 경우에 한하여 성립한다.
• 제어 측도가 $cb(X)$-다중측도에 대해 존재하는 것은 국소적으로 볼록 공간 $X$가 가чёт 체인 조건 (ccc)을 만족할 때이고, 이러한 측도는 특정 국소적으로 볼록 공간 내 $c(X)$-값 다중측도에 대해서도 존재한다.