[논문 리뷰] Representations of quantum tori and double-affine Hecke algebras

Vladimir Baranovsky, Sam Evens외 1명|ArXiv.org|2000. 05. 02.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 10인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 타원 곡선 위의 반안정 $G$-bundle를 통해 양자 토러스를 외적군으로 뒤집어쓴 표현의 분류를 수립하고, $v=0$에서 양자 토러스 대수($v=1$에서 이중아핀 히브의 대수로 연결되는 $v$-변형을 도입한다. 이는 이중아핀 히브 대수의 기약 모듈과 허그스 $G$-bundle을 연결하는 델리뉴-랑글라르-루스티그 유형의 추측을 제안하며, 영잔류 조건을 통한 연산자 실현을 제공한다.

ABSTRACT

We study a BGG-type category of infinite dimensional representations of H[W], a semi-direct product of the quantum torus with parameter `q' built on the root lattice of a semisimple group G, and the Weyl group of G. Irreducible objects of our category turn out to be parameterized by semistable G-bundles on the elliptic curve C^*/q^Z. In the second part of the paper we construct a family of algebras depending on a parameter `v' that specializes to H[W] at v=0, and specializes to the double-affine Hecke algebra introduced by Cherednik, at v=1. We propose a Deligne-Langlands-Lusztig type conjecture relating irreducible modules over the double-affine Hecke algebra to Higgs G-bundles on the elliptic curve. The conjecture may be seen as a natural `v-deformation' of the classification of simple H[W]-modules obtained in the first part of the paper. Also, an `operator realization' of the double-affine Hecke algebra, as well as of its Spherical subalgebra, in terms of certain `zero-residue' conditions is given.

연구 동기 및 목표

• 양자 토러스 $\mathcal{H}$와 반단순군 $G$의 외적군 $W$의 군환 $\mathcal{H}[W]$의 기약 표현을 분류하기 위해.
• 기약 $\mathcal{H}[W]$-모듈과 타원곡선 $\mathbb{C}^*/\mathbf{q}^\mathbb{Z}$ 위의 반안정 $G$-bundle 사이의 대응을 수립하기 위해.
• $v=0$에서 $\mathcal{H}[W]$로, $v=1$에서 이중아핀 히브 대수로 연결되는 일련의 매개변수 $v$를 가진 대수 $\mathcal{H}_v$의 가중치를 구성하기 위해.
• 이중아핀 히브 대수의 기약 모듈과 동일한 타원곡선 위의 허그스 $G$-bundle을 연결하는 델리뉴-랑글라르-루스티그 유형의 추측을 제안하기 위해.
• 더 큰 양자 토러스 대수에서의 영잔류 조건을 사용하여 이중아핀 히브 대수 및 그 구면 부분대수의 명시적 연산자 실현을 제공하기 위해.

제안 방법

• 크기의 절반인 $\mathcal{H}$의 부분대수 $\mathcal{A}$에 대해 국소적으로 유한한 $\mathcal{H}$-모듈의 BGG 유형의 카테고리 $\mathcal{M}(\mathcal{H}, \mathcal{A})$를 정의하고, 카테고리 $\mathcal{O}$를 일반화하기 위해.
• 반단순군 $G$의 외적군 $W$와 양자 토러스 $\mathcal{H}$로부터 $\mathcal{H}[W]$를 구성하고, $\mathcal{M}(\mathcal{H}, \mathcal{A})$ 내에서 그 기약 모듈을 분류하기 위해.
• $\mathcal{H}[W]$와 $W$-불변 부분대수 $\mathcal{H}^W$ 사이의 모리타 동치를 수립하여 표현론적 성질의 이행을 가능하게 하기 위해.
• 매개변수 $v$에 따라 변하는 대수 $\mathcal{H}_v$의 가중치를 도입하고, $\mathcal{H}_0 \simeq \mathcal{H}[W]$ 및 $\mathcal{H}_1$이 이중아핀 히브 대수와 동형임을 보장하기 위해.
• 더 큰 군환 $\mathcal{H}_{\text{frac}}[W]$의 부분대수로 $\mathcal{H}_v$의 연산자 실현을 제공하고, 영잔류 조건을 통해 대수적 구조를 정의하기 위해.
• $\mathcal{H}_{\text{frac}}$의 $W$-불변 부분을 통해 $\mathcal{H}_v$의 구면 부분대수를 구성하고, $v=0$에서 $\mathcal{H}^W$로 특수화됨을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 토러스 대수 $\mathcal{H}[W]$의 기약 표현은 타원곡선 위의 기하적 대상으로 어떻게 분류될 수 있는가?
• RQ2 표현론의 맥락에서 $W$-불변 부분대수 $\mathcal{H}^W$의 기하적 의미는 무엇인가?
• RQ3 기약 표현의 연속적 변형을 어떻게 구성할 수 있으며, 이는 양자 토러스와 이중아핀 히브 대수 사이를 연결하는가?
• RQ4 이중아핀 히브 대수에 대해 델리뉴-랑글라르-루스티그 추측의 유사체는 무엇이며, 타원곡선 위의 허그스 번들의 관계는 어떠한가?
• RQ5 영잔류 조건을 통해 이중아핀 히브 대수를 어떻게 구체적인 연산자 대수로 실현할 수 있는가?

주요 결과

• 기약 $\mathcal{H}[W]$-모듈은 타원곡선 $\mathbb{C}^*/\mathbf{q}^\mathbb{Z}$ 위의 반안정 $G$-bundle $P$와 그 성분군 $\operatorname{Aut}(P)/(\operatorname{Aut} P)^\circ$의 허용 가능한 표현 $\alpha$의 쌍 $(P, \alpha)$와의 전단사 대응이 존재한다.
• $\mathcal{M}(\mathcal{H}, \mathcal{A})$는 유한 길이를 가지며, 모든 단순 대상은 타원곡선 위의 기하적 자료를 통해 분류된다.
• $\mathcal{H}_v$의 가중치는 $v=1$에서 이중아핀 히브 대수로 특수화되는 $\mathcal{H}[W]$의 $v$-변형을 제공하며, 양자 토러스의 구조를 일반화한다.
• 특정 영잔류 조건을 만족하는 $\mathcal{H}_{\text{frac}}[W]$의 부분대수로서 이중아핀 히브 대수의 연산자 실현이 구성된다.
• $\mathcal{H}_v$의 구면 부분대수는 $v=0$에서 $W$-불변 부분대수 $\mathcal{H}^W$로 특수화되며, 동일한 영잔류 조건을 통해 실현된다.
• 이중아핀 히브 대수의 기약 모듈이 타원곡선 위의 허그스 $G$-bundle과 대응됨을 제안하는 추측을 제기하며, 이는 $\mathcal{H}[W]$-모듈의 분류를 일반화한다.