[논문 리뷰] Representations of surface groups with finite mapping class group orbits

Indranil Biswas, Thomas Koberda외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 13.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 표면 군 또는 자유군의 표현이 그 자동사상군(사상류군 또는 자유군의 자동사상군)의 작용 하에서 유한 궤적을 가지면, 그 표현의 상은 반드시 유한하다는 것을 증명함으로써 오랫동안 남아있던 문제를 해결한다. 이 결과는 표면 군과 자유군(계수 ≥2) 모두에 대해 성립하며, 내부 자동사상과 심플렉틱 자동사상에 대한 불변성 분석에 기반한다. 핵심 반례는 표현 다양체를 특성 다양체로 대체할 경우 결과가 성립하지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

Let $(S,\, \ast)$ be a closed oriented surface with a marked point, let $G$ be a fixed group, and let $ρ\colonπ_1(S) \longrightarrow G$ be a representation such that the orbit of $ρ$ under the action of the mapping class group $Mod(S,\, \ast)$ is finite. We prove that the image of $ρ$ is finite. A similar result holds if $π_1(S)$ is replaced by the free group $F_n$ on $n\geq 2$ generators and where $Mod(S,\, \ast)$ is replaced by $Aut(F_n)$. We thus resolve a well-known question of M. Kisin. We show that if $G$ is a linear algebraic group and if the representation variety of $π_1(S)$ is replaced by the character variety, then there are infinite image representations which are fixed by the whole mapping class group.

연구 동기 및 목표

• M. Kisin이 제기한, 유한 사상류군 궤적을 가지는 표현의 이미지 유한성에 관한 잘 알려진 열린 문제를 해결하기 위해.
• 표면 군 $\pi_1(S)$와 자유군 $F_n$ ($n \geq 2$)에 대해, $\operatorname{Aut}(\Gamma)$-궤적이 유한한 임의의 표현은 반드시 유한한 이미지를 가져야 한다는 것을 확립하기 위해.
• 표현 다양체를 특성 다양체로 대체할 경우 결과가 성립하지 않음을 보여주기 위해, 특히 $\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$와 같은 선형 대수군에 대해서도 마찬가지임을 보여주기 위해.
• 특성 다양체에서 전체 사상류군에 의해 고정되는 무한 이미지 표현이 존재할 수 있음을 보여주는 반례를 제공하기 위해.

제안 방법

• Dehn–Nielsen–Baer 정리를 사용하여 $\operatorname{Mod}(S,\ast)$ 가 $\operatorname{Aut}(\pi_1(S))$ 의 유한 지수 부분군임을 식별하기 위해.
• $\Gamma = \pi_1(S)$ 또는 $F_n$ 에 대해 $\operatorname{Aut}(\Gamma)$-불변 표현은 아벨 이미지를 가져야 하며, 군이 표면군 또는 계수 ≥2의 자유군이면 더 나아가 이미지가 자명해야 한다는 것을 증명하기 위해.
• 호모로지 $H_1(\Gamma, \mathbb{Z})$ 에 대한 심플렉틱 군 작용을 적용하여, 비자명한 $\operatorname{Aut}(\Gamma)$-불변 표현이 존재할 수 없음을 보여주기 위해, 유일하게 가능한 경우는 이미지가 자명할 때뿐임을 보여주기 위해.
• 무한 이미지를 가지는 선형 표현 $\rho: \operatorname{Mod}(S,\ast) \to \operatorname{PGL}_n(\mathbb{C})$ 를 사용하여 반례를 구성하기 위해, 이를 $\operatorname{GL}_m(\mathbb{C})$ 로 올려 특성 다양체에서 $\operatorname{Mod}(S,\ast)$ 에 의해 고정된 특성을 얻기 위해.
• Birman 정적사슬을 사용하여 $\pi_1(S)$ 를 $\operatorname{Mod}(S,\ast)$ 의 정규부분군으로 포함시켜, 사상류군에서의 불변성 전이가 표면군으로 가능하게 하기 위해.
• Mostow 정칙성과 무작위 직각 아르틴 군의 성질을 활용하여, 외부 자동사상군이 유한한 군의 클래스를 식별함으로써 결과의 보편적 적용 가능성을 뒷받침하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표면군 $\rho: \pi_1(S) \to G$ 가 사상류군 $\operatorname{Mod}(S,\ast)$-궤적이 유한하면, 반드시 이미지가 유한한가?
• RQ2 자유군 $F_n$ 에 대한 표현이 $\operatorname{Aut}(F_n)$-작용 하에서 유한 궤적을 가지면 같은 결론이 성립하는가?
• RQ3 표현 다양체가 아닌 특성 다양체를 고려할 경우, 전체 사상류군에 의해 고정되는 무한 이미지 표현이 존재할 수 있는가?
• RQ4 $\Gamma$ 와 $G$ 의 어떤 구조적 성질이 $\operatorname{Aut}(\Gamma)$-불변 표현의 이미지가 유한함을 보장하는가?
• RQ5 표면군 또는 자유군과 같은 자연스러운 군의 클래스 중에서 $\operatorname{Aut}(\Gamma)$-불변 표현이 반드시 자명해야 하는 군의 클래스는 무엇인가?

주요 결과

• 표면군 $\rho: \pi_1(S) \to G$ 가 $\operatorname{Mod}(S,\ast)$-작용 하에서 유한 궤적을 가지면, $\rho(\pi_1(S))$ 는 반드시 유한하며, 이는 M. Kisin의 문제를 해결한다.
• 자유군 $F_n$ 에 대한 표현 $\rho: F_n \to G$ 에 대해서도 $\operatorname{Aut}(F_n)$-궤적이 유한하면 동일한 결론이 성립한다. ($n \geq 2$)
• 표면군 $\Gamma = \pi_1(S)$ 에 대해, 충분히 큰 $n$ 에 대해 특성 다양체 $\mathcal{X}(\Gamma, \operatorname{GL}_n(\mathbb{C}))$ 에서 전체 $\operatorname{Mod}(S,\ast)$ 작용에 의해 고정되는 무한 이미지 표현이 존재한다.
• 이러한 무한 이미지 고정 특성의 구성은 Theorem 5.1에 의해 보장되는, $\pi_1(S)$ 에서의 이미지가 무한한 선형 표현 $\sigma: \operatorname{Mod}(S,\ast) \to \operatorname{PGL}_n(\mathbb{C})$ 에 기반한다.
• $\pi_1(S)$ 의 이미지가 자유군을 포함하도록 만들 수 있으며, 이는 이미지가 단지 무한할 뿐 아니라 풍부한 구조를 지닌다는 것을 보여준다.
• 이 결과는 일반적인 군 $\Gamma$ 에 대해서는 성립하지 않으며, 표현 다양체를 특성 다양체로 대체할 경우에도 성립하지 않음을 보여주며, 이는 Theorem 1.1의 조건이 정확하게 얼마나 날카로운지를 강조한다.