[논문 리뷰] Representations up to homotopy and Bott's spectral sequence for Lie groupoids

Camilo Arias Abad, Marius Crainic|ArXiv.org|2009. 11. 15.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 호모토피 이외의 표현을 도입하여 리 군oids의 표현을 일반화하며, 이는 더 높은 호모토피 일관성을 포함한다. 이 틀을 사용해 리 군의 Bott 스펙트럴 시퀀스를 일반 리 군oids로 확장한다. 주요 기여는 고인자 표현이 자연스럽게 호모토피 이외의 표현임을 증명하고, 이를 통해 군oids의 신호 공간의 코homology로 수렴하는 이중 복합체를 구성하는 것이다. 이 복합체는 군oids의 네브 위의 미분형식으로 구성된다.

ABSTRACT

This belongs to a series of papers devoted to the study of the cohomology of classifying spaces of Lie groupoids. Our aim here is to introduce and study the notion of representation up to homotopy of Lie groupoids, the resulting derived category, and to show that the adjoint representation is well defined as a representation up to homotopy. As an application, we extend Bott's spectral sequence converging to the cohomology of classifying spaces from Lie groups to Lie groupoids.

연구 동기 및 목표

• 특이적이고도 민감한 구조를 수용할 수 있는 호모토피 일반화된 군oids 표현의 개발.
• 리 군oids의 고인자 표현이 자연스럽게 호모토피 이외의 표현임을 보여주어 이론의 기초적 격차를 메운다.
• 원래 리 군에 대해 정의된 Bott의 스펙트럴 시퀀스를 더 넓은 리 군oids의 맥락으로 확장하여, 그들의 신호 공간의 코homology 계산을 가능하게 한다.
• 리 군oids의 고차 대수적 불변량을 캡처하는 데 필요한 유도 범주 틀을 수립한다.
• 군oids의 네브 위에 있는 미분형식의 이중 복합체를 구성하고, 이로부터 클래스 피닝 공간의 코homology로 수렴하는 스펙트럴 시퀀스를 이끌어내는 것.

제안 방법

• 리 군oids의 작용이 벡터 번들의 코호모로지 복합체 위에 있으며, 결합법칙이 일관된 호모토피 수준에서만 성립하는 방식으로 표현을 정의한다.
• 작용의 엄밀한 결합법칙 실패를 측정하는 구조 연산자(곡률)를 정의하고, 고차 호모토피를 통해 일관성을 확보한다.
• 군oids의 접선 및 Atiyah 대수의 자료로부터 구조 연산자를 구성함으로써, 리 군oids의 고인자 표현이 자연스럽게 호모토피 이외의 표현이 됨을 증명한다.
• 자유 G-다양체 P(m) = G^{m+1}를 사용해 기저 다양체의 단순 복합체 해상으로서의 해를 구성한다.
• 형식 복합체 위에 수평 미분 ♭*를 얼라터네이팅 합으로 정의하고, (♭*)² = 0임을 보이며, 수축 호모토피를 갖는다.
• 수평 미분 ♭*와 수직 미분 D(호모토피 이외의 표현에서 유래)를 갖는 이중 복합체를 구성하고, 두 행과 열이 모두 정확함을 증명함으로써, 코호모로지가 준위사적 동치임을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리 군oids의 고인자 표현은 그 작용에서 엄밀한 결합법칙이 성립하지 않음에도 불구하고, 자연스럽게 호모토피 이외의 표현으로 정의될 수 있는가?
• RQ2 원래 리 군에 대해 정의된 Bott의 스펙트럴 시퀀스는 어떻게 군oids의 네브 위의 코hom로지적 구조를 통해 일반화될 수 있는가?
• RQ3 호모토피 이외의 표현은 리 군oids의 클래스 피닝 공간의 코homology를 어떻게 캡처하는가?
• RQ4 호모토피 이외의 표현의 구조 연산자는 전반적인 군oids 맥락에서 곡률과 호모토피 일관성을 어떻게 코딩하는가?
• RQ5 리 군oids의 네브 위에 존재하는 이중 복합체는 Bott의 공식을 실현하고 수렴하는 스펙트럴 시퀀스를 이끌어내는가?

주요 결과

• 리 군oids의 고인자 표현은 자연스럽게 호모토피 이외의 표현으로 잘 정의되며, 그 구조 연산자는 군oids의 접선 및 Atiyah 대수 자료로부터 유도된다.
• 리 군oids의 네브 위의 미분형식 복합체의 수평 코호모로지는 대칭 고인자 표현의 승수에 대한 미분형식 코호모로지와 동형이다.
• 이중 복합체에 관련된 스펙트럴 시퀀스는 리 군oids의 클래스 피닝 공간의 코호모로지로 수렴하며, 리 군의 경우 Bott의 결과를 일반화한다.
• 단순 복합체를 따라 C(G(m); Sq(Ad*))의 복합체 시퀀스는 정확하며, 제로번째 면 사상 σ₀*가 수축 호모토피를 제공한다.
• 이중 복합체의 수직 및 수평 행과 열은 모두 정확하며, 이는 총 코호모로지가 수직 또는 수평 포함을 통해 클래스 피닝 공간의 코호모로지와 동형임을 의미한다.
• 이 구성은 함자적이다: G-등변 사상에 沿해의 추론은 복합체 사이의 체인 사상으로 이어지며, 스펙트럴 시퀀스의 구조를 유지한다.