[논문 리뷰] Research of the hereditary dynamic Riccati system with modification fractional differential operator of Gerasimov-Caputo

Dmitriy Tverdyi, Roman Parovik|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 16.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 25인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 변수 순서의 수정된 Gerasimov-Caputo 분수형 미분 연산자를 사용하여 유전적 동적 Riccati 시스템의 수치적 해를 제안한다. 변수 순서의 기억 핵함수를 갖는 이산화된 시스템에 뉴턴-랩슨 방법을 적용함으로써, 격자 해상도를 높일수록 계산 정확도가 이론적 수렴 차수에 가까워지는 것을 입증하였으며, 기억 효과와 포화 효과를 포함한 시스템에 대한 모델 신뢰성을 입증하였다.

ABSTRACT

In this paper, we study the Cauchy problem for the Riccati differential equation with constant coefficients and a modified Gerasimov-Caputo type fractional differential operator of variable order. Using Newton's numerical algorithm, calculation curves are constructed taking into account different values of the Cauchy problem parameters. The calculation results are compared with the previously obtained results. The computational accuracy of the numerical algorithm is investigated. It is shown using the Runge rule that the computational accuracy tends to the accuracy of the numerical method when increasing the nodes of the calculated grid.

연구 동기 및 목표

• 변수 순서의 수정된 Gerasimov-Caputo 도함수를 갖는 분수형 Riccati 방정식의 초기값 문제를 연구한다.
• 시간에 따라 변화하는 분수형 순서를 통해 퇄득 기억 효과를 반영하는 유전적 동역학을 모델링한다.
• 격자 해상도를 높이고 오차 추정을 통해 뉴턴-랩슨 수치적 방법의 계산 정확도를 검증한다.
• 표준 변수 순서 및 지연된 항을 포함한 변수 순서의 두 가지 다른 분수형 도함수 설정 간의 해를 비교한다.
• 경제 순환 및 태양 활동 동역학과 같은 포화 과정을 모델링하는 데 응용 가능성을 뒷받침한다.

제안 방법

• 지연된 항을 포함한 순서 함수 γ(t−τ)를 갖는 수정된 Gerasimov-Caputo 도함수를 사용하여 분수형 Riccati 방정식을 수립한다.
• 시간 간격 [0,T]를 N등분하여 step h = T/N로 나누고, 격자 노드 tn = nh를 정의한다.
• 계수 ωi,γ를 갖는 가중치가 부여된 트라프레즈로드 적분 규칙을 사용하여 분수형 도함수를 근사한다.
• 식 (10)의 근사식을 사용하여 연속적인 초기값 문제를 비선형 차분 시스템으로 변환한다.
• 유도된 시스템을 해결하기 위해 뉴턴-랩슨 반복 방법을 적용하고, 야코비안 행렬의 역행렬을 이용해 해 벡터를 갱신한다.
• 다른 격자 밀도에서의 해를 기반으로 수렴 차수 p와 오차 ε을 계산하여 수치 정확도를 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지연된 항을 포함한 순서 함수를 갖는 수정된 Gerasimov-Caputo 연산자는 분수형 Riccati 방정식의 해 역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 기억 효과를 포함한 변수 순서 분수형 Riccati 시스템을 풀 때 뉴턴-랩슨 방법의 계산 정확도는 어떠한가?
• RQ3 지연된 순서 도함수 (8)을 갖는 초기값 문제의 해와 표준 변수 순서 도함수 (5)의 해는 행동과 수렴성 측면에서 어떻게 비교되는가?
• RQ4 격자 해상도를 높일수록 수치적 해의 정확도 차수는 이론적 차수에 얼마나 가까워지는가?
• RQ5 제안된 수치적 방법은 로지스틱형 역학과 같은 퇴색 기억 효과를 갖는 포화 과정을 신뢰성 있게 모델링할 수 있는가?

주요 결과

• 상수 순서 케이스 (α = γ = 1)에서는 표준 및 수정된 Gerasimov-Caputo 설정이 동일한 해 곡선을 생성하여 일관성을 확인한다.
• 예제 1 (α = γ = 1)에서 수치적 수렴 차수 p는 격자 해상도를 높일수록 1.00에 수렴함을 확인하여 기대되는 수렴 속도를 확인한다.
• 예제 2 (0.5 < α,γ < 1)에서 수치적 수렴 차수 p는 약 1.00–1.03 수준에서 안정화되며, 이는 제2차 수렴 행동을 나타낸다.
• 예제 3 (0 < α,γ < 1)에서 수치적 수렴 차수 p는 격자 해상도를 높일수록 1.00으로 증가하며, 초기 진동이 있었음에도 불구하고 수렴함을 보여준다.
• 예제 4 (0 < α,γ < 0.5)에서 수치적 수렴 차수 p는 0.97 이상을 유지하며 더 미세한 격자에서 1.00으로 수렴함을 확인하여 강건성을 입증한다.
• 모든 예제에서 절대 오차 ε은 격자 해상도를 높일수록 단조롭게 감소하며, 예제 4에서 N = 2079일 때 최소 오차 (ε ≈ 0.001086)를 기록한다.