[논문 리뷰] Residues and duality for Cousin complexes

Joseph Lipman, Pramathanath Sastry|ArXiv.org|1996. 08. 04.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Noetherian 스킴의 유한형 사상에 대해 캐논리컬한 준함수자 $^\#$를 구성하며, 이는 Hartshorne의 'Residues and Duality'에서 다룬 잔여 복합체의 변동 이론을 일반화하고 캐논리컬하게 만든다. 주요 결과는 함의적 동형사상 $f^\# M \cong E(f^! M)$이며, $f$가 올바를 때 $\operatorname{Tr}_f(M): f_*f^\# M \to M$라는 캐논리컬한 추적 사상이 존재하여 $\operatorname{Hom}(f_*C, M)$를 표현하며, 고전적 잔여 정리의 일반화를 이룬다.

ABSTRACT

We construct a canonical pseudofunctor ^# on the category of finite-type maps of (say) connected noetherian universally catenary finite-dimensional separated schemes, taking values in the category of Cousin complexes. This pseudofunctor is a concrete approximation to the restriction of the Grothendieck Duality pseudofunctor ^! to the full subcategory of the derived category having Cohen-Macaulay complexes as objects (a subcategory equivalent to the category of Cousin complexes, once a codimension function has been fixed). Specifically, for Cousin complexes M and any scheme map f:X -> Y as above, there is a functorial derived-category map γ: f^# M -> f^! M inducing a functorial isomorphism in the category of Cousin complexes f^# M \iso E(f^! M) (where E is the Cousin functor). γitself is an isomorphism if the complex f^! M is Cohen-Macaulay--which will be so whenever the map f is flat or whenever the complex M is injective. Also, f^# takes residual (resp. injective) complexes on Y to residual (resp. injective) complexes on X; and so the pseudofunctor ^# generalises--and makes canonical--the "variance theory" of residual complexes developed in Chapter VI of Hartshorne's "Residues and Duality." Moreover, we generalise the Residue Theorem of loc.cit., p.369 by defining a functorial Trace map of graded modules Tr_f(M): f_*f^# M -> M (a sum of local residues) such that whenever f is proper, Tr_f(M) is a map of complexes and the pair (f^# M, Tr_f(M)) represents the functor Hom(f_*C, M) of Cousin complexes C.

연구 동기 및 목표

• Cohen-Macaulay 복합체에 제한된 그로텐디크 딜레미 함수자 $^!$를 모델링하는 캐논리컬한 준함수자 $^\#$를 유한형 사상의 Noetherian 스킴에 대해 구성하는 것.
• 고정된 코디멘션 함수를 사용하여, 추상적인 $^!$-함수자를 쿠존 복합체를 통한 구체적이고 함의적인 근사로 제공하는 것.
• Hartshorne의 제6장에서 다룬 잔여 복합체의 '변동 이론'을 캐논리컬한 프레임워크로 일반화하는 것.
• 올바른 사상에 대해 함의적 추적 사상 $\operatorname{Tr}_f(M)$를 정의하여 고전적 잔여 정리를 일반화하는 것.
• $f^\#$가 잔여 복합체와 임베딩 복합체를 유지하며, $f^! M$이 Cohen-Macaulay일 때 $\gamma: f^\# M \to f^! M$이 동형사상임을 보이는 것.

제안 방법

• 연결된 Noetherian 스킴의 유한형 사상의 범주에 대해, 쿠존 복합체의 범주를 값으로 가지는 준함수자 $^\#$를 정의한다.
• 함의적 동형사상 $f^\# M \cong E(f^! M)$을 유도하는 캐논리컬한 사상 $\gamma: f^\# M \to f^! M$을 구성하며, 여기서 $E$는 쿠존 함수자이다.
• 올바른 사상일 때 복합체의 사상이 되는 국소 잔여의 합으로서 추적 사상 $\operatorname{Tr}_f(M): f_*f^\# M \to M$을 도입한다.
• 코디멘션 함수를 사용하여 Cohen-Macaulay 복합체의 범주를 쿠존 복합체의 범주와 동일시함으로써 구축을 가능하게 한다.
• $f^\#$가 $Y$ 상에서 잔여 복합체와 임베딩 복합체를 유지하며, $X$ 상에서도 동일한 성질을 끌어올리며, $f$가 평탄하거나 $M$이 임베딩일 때 $\gamma$가 동형사상임을 보인다.
• 유도 범주 프레임워크를 활용하여 함의성과 딜레미와의 호환성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그로텐디크 딜레미 함수자 $^!$는 어떻게 쿠존 복합체의 범주에 대해 준함수자 $^\#$를 통해 구체적으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 유도 범주에서 $f^\# M$과 $f^! M$ 사이의 정확한 관계는 무엇이며, 캐논리컬한 사상 $\gamma: f^\# M \to f^! M$이 언제 동형사상이 되는가?
• RQ3 고전적 잔여 정리는 쿠존 복합체 $C$에 대해 $\operatorname{Hom}(f_*C, M)$을 표현하는 함의적 추적 사상 $\operatorname{Tr}_f(M)$로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 준함수자 $^\#$는 하르트시오르의 작업에서 다룬 잔여 복합체의 변동 이론을 어떻게 확장하는가?
• RQ5 $f^\# M$이 $M$의 잔여 또는 임베딩 성질을 유지하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 준함수자 $^\#$는 쿠존 복합체의 캐논리컬하고 함의적인 이중성을 제공하며, 잔여 복합체의 변동 이론을 일반화한다.
• 사상 $\gamma: f^\# M \to f^! M$은 $E$가 쿠존 함수자일 때 함의적 동형사상 $f^\# M \cong E(f^! M)$을 유도한다.
• 추적 사상 $\operatorname{Tr}_f(M): f_*f^\# M \to M$은 국소 잔여의 합이며, $f$가 올바를 때 $\operatorname{Hom}(f_*C, M)$을 표현한다.
• $f^\#$는 $Y$ 상에서의 잔여 복합체를 $X$ 상에서의 잔여 복합체로 유지하며, 임베딩 복합체도 임베딩 복합체로 유지한다.
• $f$가 평탄하거나 $M$이 임베딩일 경우 $\gamma$는 동형사상이며, 기존의 딜레미 결과와의 호환성을 보장한다.
• 후속 논문인 math.AG/0310032와 사스트리의 향후 논문에서 이 결과는 더 이상 유효하지 않게 되며, 이는 형식 스킴로의 이론 확장을 포함한다.