[논문 리뷰] Residues and Resultants

Eduardo Cattani, Alicia Dickenstein외 1명|ArXiv.org|1997. 01. 31.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 22인용 수 72

한 줄 요약

이 논문은 토릭 기하학을 통해 스퍼스 결과식을 이용하여 토러스와 토릭 잔여물의 분모 공식을 수립하며, 임의의 다항식계와 야코비안 간의 연결을 제공한다. 주요 기여는 야코비안을 기반으로 한 스퍼스 결과식에 대한 행렬식 공식을 제시하여, 밀도가 낮은 지지집합을 가진 다변수 다항식계를 해석하기 위한 계산 알고리즘을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Resultants, Jacobians and residues are basic invariants of multivariate polynomial systems. We examine their interrelations in the context of toric geometry. The global residue in the torus, studied by Khovanskii, is the sum over local Grothendieck residues at the zeros of $n$ Laurent polynomials in $n$ variables. Cox introduced the related notion of the toric residue relative to $n+1$ divisors on an $n$-dimensional toric variety. We establish denominator formulas in terms of sparse resultants for both the toric residue and the global residue in the torus. A byproduct is a determinantal formula for resultants based on Jacobians.

연구 동기 및 목표

• 토러스 내 전역 잔여물과 프로젝티브 토릭 다양체 위의 토릭 잔여물 간의 계산적 연결을 수립하기 위해.
• 스퍼스 결과식을 통해 두 유형의 잔여물에 대한 명시적 분모 공식을 유도하기 위해.
• 기존의 결과식과 잔여물 이론을 조밀한 다항식계를 넘어서 스퍼스 라운지 다항식계로 확장하기 위해.
• 토릭 기하학과 스퍼스 결과식을 활용한 잔여물의 알고리즘적 계산 프레임워크를 개발하기 위해.

제안 방법

• 동차화를 통해 토러스 내 전역 잔여물을 프로젝티브 토릭 다양체 위의 토릭 잔여물과 연결하기 위해 토릭 기하학을 사용한다.
• 전체 전환 법칙을 적용하여 동차 다항식의 토릭 잔여물을 보조 다항식의 곱의 잔여물과 동일시한다.
• 뉴턴 다면체와 혼합 부피를 통해 정의된 스퍼스 결과식을 합리적 잔여 함수의 분모로 사용한다.
• 라운지 다항식의 야코비안을 이용하여 스퍼스 결과식에 대한 행렬식 공식을 도출한다.
• 혼합 결과식의 곱 공식을 적용하여 결과식을 변수 부분집합에 따라 인덱싱된 인자들로 분해한다.
• 자리지 개방집합 조건과 차수 분석을 통해 전체 지지집합 결과식 인자만이 분모로서 필요하다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 토러스 내 전역 잔여물을 스퍼스 결과식의 곱으로 이루어진 분모를 가진 유리함수로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ2 스퍼스 결과식을 기준으로 토릭 잔여물과 토러스 내 전역 잔여물 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 라운지 다항식의 야코비안 행렬식으로부터 스퍼스 결과식에 대한 행렬식 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 혼합 결과식의 곱 공식에서 잔여 함수의 분모에 필요한 인자는 무엇인가?
• RQ5 어떤 조건에서 전체 지지집합에 대응하는 스퍼스 결과식이 잔여 함수의 분모로 충분한가?

주요 결과

• 공통 영점에서의 그로텐디에크 잔여물의 합으로 정의된 토러스 내 전역 잔여물은, 각 면 결과식을 단항식 차수에 따라 승수로 올린 곱으로 이루어진 분모를 가진 유리함수이다.
• 두 개의 일반적인 이차 라운지 다항식이 두 변수에 대해 주어질 때, 잔여물 Res^T_f(x^3y^2)는 P_32 / R_infinity^2 와 같다. 여기서 R_infinity는 특정한 이차 결과식이다.
• 프로젝티브 토릭 다양체 위의 동차 다항식의 토릭 잔여물은 보조 다항식과의 곱의 잔여물과 동일하며, 이는 표준 결과식 계산으로의 환원을 가능하게 한다.
• 스퍼스 결과식 R(f_0, g_1, ..., g_n)이 토릭 잔여물의 분모로 작용하며, 전체 지지집합 결과식 R(f_0, f_1, ..., f_n)이 충분함을 보였다.
• 혼합 결과식의 곱 공식에 따르면, J = {1,...,n} 인 항만 분모에 기여하며, 나머지 항들은 보조 다항식의 계수에 의존한다.
• 야코비안을 이용하여 스퍼스 결과식에 대한 행렬식 공식을 도출하였으며, 이는 고전 결과를 밀도가 낮은 시스템으로 일반화한다.