[논문 리뷰] Residues of skew rational functions

Xavier Caruso|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 21.

Coding theory and cryptography참고 문헌 17인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 유한 차수의 자동형사상 $ \theta $ 를 갖는 스칼라 다항식 환 $ K[X;\theta] $ 위에서 스칼라 유리 함수에 대한 잔여 이론을 수립한다. $ (X^r - z)^n $ 형태의 타일러 유사 전개를 도입하고, 잔여를 $ (X^r - z)^{-1} $ 의 계수로 정의하며, 잔여 공식과 변수변환 법칙의 스칼라 버전을 증명하여 고전적 복소해석학 도구를 비가환 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

This paper constitutes a first attempt to do analysis with skew polynomials. Precisely, our main objective is to develop a theory of residues for skew rational functions (which are, by definition, the quotients of two skew polynomials). We prove in particular a skew analogue of the residue formula and a skew analogue of the classical formula of change of variables for residues.

연구 동기 및 목표

• 스칼라 유리 함수에 대한 체계적인 잔여 이론을 개발하여 고전적 복소해석학을 비가환 스칼라 다항식 환으로 일반화한다.
• 특히 $ \theta $ 가 유한 차수를 가질 때, $ (X^r - z)^n $ 전개를 사용하여 스칼라 다항식에 대한 타일러 전개를 확장한다.
• 스칼라 설정에서의 로랑 유사 전개를 통해 유한점과 무한점에서의 잔여를 정의한다.
• 모든 잔여의 합이 0이 되는 조건을 만족하는 스칼라 유사 전역 잔여 정리의 증명을 시도한다.
• 분수체 $ \text{Frac}(K[X;\theta]) $ 의 내형사상에 대한 잔여의 변수변환 공식을 수립한다.

제안 방법

• 스칼라 다항식에 대해 $ \theta $-왜곡 곱셈 법칙 $ Xa = \theta(a)X $ 를 사용하여 $ X^r - z $ 의 거듭제곱 전개를 갖는 타일러 유사 전개를 구성한다.
• 스칼라 유리 함수의 점 $ z $ 에서의 잔여를 그 로랑 전개에서 $ (X^r - z)^{-1} $ 의 계수로 정의한다.
• 만약 $ r $ 이 $ K $ 의 특성과 서로소이면, 스칼라 다항식 환에 표준 도함수를 부여하여 전개의 계수를 분할 도함수의 값과 연결한다.
• 다른 점들 간의 전개를 연결하고 변환 법칙을 유도하기 위해 $ \tau_z $ 와 $ \tau_{z,\text{can}} $ 등의 동형사상을 사용한다.
• 분수체 $ \text{Frac}(K[X;\theta]) $ 의 내형사상에 이론을 적용하여, 노름과 자코비안 유사 항목을 포함한 보정 항이 있는 변수변환 공식을 도출한다.
• 함수가 교환 부분환 $ \text{Frac}(K[Y]) $ 에 속해 있을 경우, 일반적인 변수변환 공식이 고전적 가환 경우로 축소됨을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 차수의 자동형사상 $ \theta $ 를 갖는 체 위의 스칼라 다항식에 대해 타일러 전개를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 스칼라 유리 함수에 대한 적절한 잔여의 정의는 무엇이며, 이는 $ (X^r - z)^n $ 전개와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 스칼라 유리 함수에 대해 전역 잔여 정리를 수립할 수 있는가? 이는 가환 경우에서 모든 잔여의 합이 0이 되는 것과 유사하다.
• RQ4 분수체 $ \text{Frac}(K[X;\theta]) $ 의 내형사상에 따라 잔여가 어떻게 변하는가? 그리고 변수변환 공식의 스칼라 버전은 무엇인가?
• RQ5 스칼라 잔여 공식이 언제 고전적 가환 잔여 공식으로 축소되는가?

주요 결과

• 논문은 임의의 스칼라 다항식 $ f \in K[X;\theta] $ 에 대해 $ f(X) = \sum_{n=0}^\infty a_n (X^r - z)^n $ 의 형태로 타일러 유사 전개를 구성하며, 이는 $ K $ 의 분리 가능 폐쇄에 속하는 임의의 $ z $ 에 대해 유효하다.
• 만약 $ r $ 이 $ K $ 의 특성과 서로소이면, 전개의 계수 $ a_n $ 은 $ f $ 의 $ n $-번째 분할 도함수의 $ z $ 에서의 값과 일치하며, 이는 미분기하학적 해석을 가능하게 한다.
• 스칼라 유리 함수의 경우, 로랑 전개는 $ f(X) = \sum_{n=v}^\infty a_n (X^r - z)^n $ ($ v \in \mathbb{Z} $) 의 형태를 띠며, 점 $ z $ 에서의 잔여를 $ a_{-1} $ 으로 정의한다.
• 스칼라 유사 잔여 공식이 증명되었으며, 이는 스칼라 유리 함수의 모든 잔여(모든 유한점과 무한점에서의 잔여)의 합이 0임을 보여주며, 고전적 전역 잔여 정리를 일반화한다.
• 변수변환 공식이 수립되었으며, 내형사상 $ \gamma $ 에 대해 잔여가 $ \gamma \circ \text{sres}_{\gamma_* z} = \text{sres}_{z} \left( \gamma(f) \cdot \frac{d\gamma(Y)}{dY} \right) $ 와 같이 변환되며, 노름과 단위를 포함한 보정 항이 존재한다.
• 가환 경우(즉, $ f \in \text{Frac}(K[Y]) $ 일 때)에서는 공식이 고전적 변수변환 법칙으로 축소되며, 기존 결과와의 일致성을 확인한다.