[논문 리뷰] Resolutions with conical slices and descent for the Brauer group classes of certain central reductions of differential operators in characteristic $p$

Dmitry Kubrak, Roman Travkin|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 25.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 35인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 양성 특성에서 특이점의 해소에서의 결정적 환원을 갖는 결정적 미분 연산자의 브라우어 군 계열의 내림을 연구한다. 이는 '원뿔형 절단을 갖는 해소'—$\mathbb{G}_m$-작용을 갖는 심플렉틱 해소로, 군의 작용이 섬유를 한 점으로 수축시키는 것—라는 새로운 유형을 도입하고, 이러한 해소에 대해 특성 $p$에서 기저 다양체 $Y^{(1)}$로 전체적으로 내림이 일어남을 증명하며, 이는 이전의 에탈 국소 내림 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

For a smooth variety $X$ over an algebraically closed field of characteristic $p$, to a differential 1-form $α$ on the Frobenius twist $X^{(1)}$ one can associate an Azumaya algebra $\mathcal D_{X,α}$, defined as a certain central reduction of the algebra $\mathcal D_X$ of "crystalline differential operators" on $X$. For a resolution of singularities $π:X o Y$ of an affine variety $Y$, we study for which $α$ does the class $[\mathcal D_{X,α}]$ in the Brauer group $\mathrm{Br}(X^{(1)})$ descend to $Y^{(1)}$. In the case when $X$ is symplectic, this question is related to Fedosov quantizations in characteristic $p$ and the construction of non-commutative resolutions of $Y$. We prove that the classes $[\mathcal D_{X,α}]$ descend étale locally for all $α$ if $\mathcal O_Y\simeq π_* \mathcal O_X$ and $R^{1,2}π_*\mathcal O_X =0$. We also define a certain class of resolutions which we call resolutions with conical slices, and prove that for a general reduction of a resolution with conical slices in characteristic $0$ to an algebraically closed field of characteristic $p$ classes $[\mathcal D_{X,α}]$ descend to $Y^{(1)}$ globally for all $α$. Finally we give some examples, in particular we show that Slodowy slices, Nakajima quiver varieties and hypertoric varieties are resolutions with conical slices.

연구 동기 및 목표

• 특성 $p$에서 매끄러운 다양체 $X$ 위의 결정적 미분 연산자에 대한 중심 환원으로 유도되는 아즈마야 대수 $\mathcal{D}_{X,\alpha}$가 $X^{(1)}$에서 특이 기저 $Y$의 프로페르스 전환 $Y^{(1)}$로 내림하는 조건을 이해하는 것.
• 원뿔형 절단을 갖는 해소—$\mathbb{G}_m$-작용이 섬유를 한 점으로 수축시키는 구조를 갖는 새로운 해소 유형—을 정의하고 특성화하는 것.
• 이러한 해소에 대해 브라우어 계열 $[\mathcal{D}_{X,\alpha}]$의 전체 내림을 확립하여 이전의 에탈 국소 내림 결과를 확장하는 것.
• 슬로도프스키 절단, 나카지마 퀼리 다양체, 하이퍼토릭 다양체 등이 원뿔형 절단을 갖는 해소의 예임을 보여주는 것.
• 이러한 내림 결과를 피드소프 양자화와 양성 특성에서의 비가환 해소, 특히 $K$-등가성과 $D$-등가성 추측의 맥락과 연결하는 것.

제안 방법

• 특성 $p$에서 대수적으로 닫힌 체 위의 매끄러운 다양체 $X$ 위에서 결정적 미분 연산자의 대수 $\mathcal{D}_X$의 중심 환원으로서 아즈마야 대수 $\mathcal{D}_{X,\alpha}$를 구성하며, 이는 프로페르스 전환 $X^{(1)}$ 위의 1형식 $\alpha$에 의해 매개화된다.
• 프로페르스 사상과 카르티에 연산자를 사용하여 미분 연산자의 $p$-곡률과 아즈마야 대수의 구조를 연결한다.
• 섬유를 한 점으로 수축시키는 $\mathbb{G}_m$-작용을 통해 '원뿔형 절단을 갖는 해소'의 개념을 도입하며, 국소적으로 애매한 공간과의 곱으로 등가임을 보장한다.
• 에탈 국소 내림 기법을 적용하고, 셸브 $\mathcal{Q}_{\pi,N}$ 및 게르베 $\mathcal{S}(X,\alpha)$, $\mathcal{L}(X,\alpha)$를 사용하여 전체 내림의 피카르 장벽을 분석한다.
• 다르부 유사 정리와 에탈 등가성을 활용하여 해소의 국소 구조를 비교하며, 특히 마르스딘-웨인스타인 및 해밀토니안 환원의 맥락에서 분석한다.
• 원뿔형 절단을 갖는 해소에 대해, $\pi_*\mathcal{O}_X$에 대한 약한 코homological 조건이 성립할 경우, 브라우어 계열 $[\mathcal{D}_{X,\alpha}]$가 전체적으로 $Y^{(1)}$로 내림함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성 $p$에서 해소 $\pi: X \to Y$ 위의 결정적 미분 연산자의 중심 환원과 관련된 브라우어 계열 $[\mathcal{D}_{X,\alpha}]$가 $X^{(1)}$에서 $Y^{(1)}$로 내림하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 어떤 해소가 $\mathbb{G}_m$-작용을 갖는지, 그리고 이 작용이 섬유를 한 점으로 수축시키는 구조가 브라우어 계열의 전체 내림을 어떻게 촉진하는가?
• RQ3 슬로도프스키 절단이나 퀄리 다양체와 같은 심플렉틱 또는 해밀토니안 환원으로 유도되는 해소에 대해 $[\mathcal{D}_{X,\alpha}]$의 내림을 전체적으로 확립할 수 있는가?
• RQ4 원뿔형 해소 위의 1형식의 $\mathbb{G}_m$-중량이 관련된 아즈마야 대수의 내림 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 원뿔형 절단을 갖는 해소가 나카지마 퀄리 다양체와 하이퍼토릭 다양체와 같은 알려진 예를 어떻게 비가환 해소와 피드소프 양자화의 맥락에서 통합하는가?

주요 결과

• 모든 $\alpha$에 대해, $\mathcal{O}_Y \xrightarrow{\sim} \pi_*\mathcal{O}_X$ 이며 $R^1\pi_*\mathcal{O}_X = R^2\pi_*\mathcal{O}_X = 0$를 만족하는 해소 $\pi: X \to Y$에 대해, 브라우어 계열 $[\mathcal{D}_{X,\alpha}]$는 $Y^{(1)}$ 위에서 에탈 국소적으로 내림한다.
• 논문은 '원뿔형 절단을 갖는 해소'를 섬유를 한 점으로 수축시키는 $\mathbb{G}_m$-작용을 갖는 해소로 정의하며, 이러한 해소에 대해 모든 $\alpha$에 대해 브라우어 계열 $[\mathcal{D}_{X,\alpha}]$가 전체적으로 $Y^{(1)}$로 내림함을 증명한다.
• 슬로도프스키 절단, 나카지마 퀄리 다양체, 하이퍼토릭 다양체는 원뿔형 절단을 갖는 해소임이 입증되어, 이 구성의 구체적 예를 제공한다.
• 슬로도프스키 절단에 $\mathbb{G}_m$-작용을 구성하기 위해 $\mathrm{SL}_2$의 고정된 작용의 정규화를 사용하며, 이 작용은 절단을 유지하면서도 그를 영점 $e$로 수축시키는 수축 작용을 만든다.
• 원뿔형 절단을 갖는 해소의 에탈 국소 구조는 $(\pi, X, Y, x) \sim_{et} (\pi_{e'}, \widetilde{\mathcal{S}}_{e'}, \mathcal{S}_{e'}, x') \times \underline{\mathbb{A}}^{\dim \mathbb{O}}$ 형태의 등가를 허용하며, 이는 국소적 원뿔형 구조를 보장하고 내림 결과를 뒷받침한다.
• 논문은 원뿔형 절단을 갖는 해소에 대해 $[\mathcal{D}_{X,\alpha}]$의 전체 내림이 에탈 국소화를 요구하지 않고도 성립함을 증명하며, 이는 이전에 에탈 국소 내림만을 확보한 결과를 일반화한다.