[논문 리뷰] Resonance index and singular spectral shift function

Nurulla Azamov|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 11.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 양자 산산 이론에서 단절점의 스펙트럼 이동 함수와 공명 지수 사이의 정확한 연결을 수립한다. 공명 점에서 단절점의 스펙트럼 이동 함수의 점프는 복소 평면 상의 상반평면과 하반평면에서의 유리형 함수의 극의 수의 차이와 일치함을 증명하며, 기약 연산자 쌍에 대한 비자명한 단절점 스펙트럼 이동 함수의 예를 제공한다.

ABSTRACT

This paper is a continuation of my previous work on absolutely continuous and singular spectral shift functions, where it was in particular proved that the singular part of the spectral shift function is an a.e. integer-valued function. It was also shown that the singular spectral shift function is a locally constant function of the coupling constant $r,$ with possible jumps only at resonance points. Main result of this paper asserts that the jump of the singular spectral shift function at a resonance point is equal to the so-called resonance index, --- a new (to the best of my knowledge) notion introduced in this paper. Resonance index can be described as follows. For a fixed $λ$ the resonance points $r_0$ of a path $H_r$ of self-adjoint operators are real poles of a certain meromorphic function associated with the triple $(λ+i0; H_0,V).$ When $λ+i0$ is shifted to $λ+iy$ with small $y>0,$ that pole get off the real axis in the coupling constant complex plane and, in general, splits into some $N_+$ poles in the upper half-plane and some $N_-$ poles in the lower half-plane (counting multiplicities). Resonance index of the triple $(λ; H_{r_0},V)$ is the difference $N_+-N_-.$ Based on the theorem just described, a non-trivial example of singular spectral shift function is given.

연구 동기 및 목표

• 스펙트럼 이동 함수의 점프 불연속성을 공명 지수의 관점에서 기술하는 것.
• 스펙트럼 이동 함수의 행동과 복소 이격 상수 평면에서의 해리 함수와 관련된 함수의 해석적 구조 사이의 연결을 수립하는 것.
• 기약 자기수반 연산자 쌍에 대한 비자명한 단절점 스펙트럼 이동 함수의 예를 구성하는 것.
• 트레이스-클래스 섭동에도 불구하고 절대 연속 스펙트럼에서 스펙트럼 이동 함수가 0이 아닐 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 균일 및 트레이스-클래스 노름에서 해리 함수의 경계값이 존재하는 정상점의 집합 $\Lambda(H_0, F)$ 를 정의한다.
• 절대 연속 스펙트럼 부분공간을 묘사하기 위해 평가 연산자 $\mathcal{E}_\lambda$ 와 관련된 힐버트 공간 $\mathfrak{h}_\lambda$ 를 도입한다.
• 공명 지수를 $N_+ - N_-$ 로 정의한다. 여기서 $N_\pm$ 은 $\lambda + i0$ 를 $\lambda + iy$ ($y > 0$) 로 이동시킨 후 상반평면과 하반평면에서의 유리형 함수의 극의 수이다.
• 해리 함수 항등식과 트레이스-클래스 섭동 이론을 사용하여 $1 + rT_{\lambda+i0}(H_0)J$ 의 극을 이격 상수 $r$ 에서의 공명 점과 연결한다.
• 루진-프리바로프 정리와 코시-스틸체스 변환의 성질을 적용하여 주로값 적분 $\text{p.v.}\int \frac{dF(x)}{x - \lambda}$ 가 캄토어 집합 $K$ 에 거의 어디서나 0이 아님을 보인다.
• 지그재그 캄토어 집합 $K \subset [-1,1]$ 에 대해 $|K| = 1$ 인 특이 측도 $dF(x)$ 를 사용하여 비자명한 예를 구성하고, 거의 어디서나 $\lambda \in K$ 에 대해 $\operatorname{ind}_{\text{res}}(\lambda; H_r, V) = 1$ 임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트럼 이동 함수의 점프 불연속성은 이격 상수 $r$ 에서 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ2 유리형 함수의 복소 평면에서의 극 분포에 따라 공명 지수는 어떻게 정의되는가?
• RQ3 기약 자기수반 연산자 쌍에 대해 비자명한 단절점 스펙트럼 이동 함수가 존재할 수 있는가?
• RQ4 스펙트럼 측도의 주로값 적분과 공명 점의 존재 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 언제 스펙트럼 이동 함수가 절대 연속 스펙트럼에서 0이 아닐까?

주요 결과

• 공명 점 $r_0$ 에서 단절점 스펙트럼 이동 함수의 점프는 삼중체 $(\lambda; H_{r_0}, V)$ 의 공명 지수 $N_+ - N_-$ 와 같다.
• 거의 어디서나 $\lambda \in K$ 에 대해 충분히 큰 $r > 0$ 에 대해 공명 지수 $\operatorname{ind}_{\text{res}}(\lambda; H_r, V) = 1$ 이며, 이는 스펙트럼 이동 함수의 비영점 점프를 암시한다.
• $K$ 에서 공명 지수가 1인 $\lambda $ 의 집합은 르베그 측도 $\frac{1}{2}$ 를 가지며, 이는 단절점 스펙트럼 이동 함수의 양의 측도 지지역을 보장한다.
• 거의 어디서나 $\lambda \in K$ 에 대해 주로값 적분 $\text{p.v.}\int_{-1}^{1} \frac{dF(x)}{x - \lambda}$ 는 0이 아니며, 이는 공명 점의 존재에 필수적이다.
• $\lim_{r \to \infty} \xi^{(s)}(\lambda; H_r, H_0) = \chi_K(\lambda)$ 가 거의 어디서나 $\lambda$ 에 대해 성립하며, 캄토어 집합의 특성 함수로 수렴함을 보여준다.
• 구성된 쌍 $(H_0, V)$ 는 기약이며, 단절점 스펙트럼 이동 함수는 절대 연속 스펙트럼 $[-1,1]$ 에서 비영이며, 비자명한 예를 제공한다.