[논문 리뷰] Resonant spaces for volume preserving Anosov flows

Mihajlo Cekić, Gabriel P. Paternain|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 10.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 39인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 3차원 다중체에서 체적을 유지하는 Anosov 흐름의 공진 공간 차원을 첫 번째 Betti 수, 코homology 클래스 $[\iota_X\Omega]$, 그리고 헬리시티를 사용하여 계산한다. 이 차원들이 반순수성 조건 하에서 Pollicott-Ruelle 공진 다중도와 일치함을 증명하고, 시간이 변형된 쌍곡 기하학적 흐름에서 반순수성이 실패함을 보이며, 비영 homologous 변형이 반순수성을 유지함을 보이고, Ruelle zeta 함수의 0차 항에서의 영차수에 영향을 미친다.

ABSTRACT

We consider Anosov flows on closed 3-manifolds preserving a volume form $Ω$. Following Dyatlov and Zworski (2017) we study spaces of invariant distributions with values in the bundle of exterior forms whose wavefront set is contained in the dual of the unstable bundle. Our first result computes the dimension of these spaces in terms of the first Betti number of the manifold, the cohomology class $[ι_{X}Ω]$ (where $X$ is the infinitesimal generator of the flow) and the helicity. These dimensions coincide with the Pollicott-Ruelle resonance multiplicities under the assumption of $ extit{semisimplicity}$. We prove various results regarding semisimplicity on 1-forms, including an example showing that it may fail for time changes of hyperbolic geodesic flows. We also study non null-homologous deformations of contact Anosov flows and we show that there is always a splitting Pollicott-Ruelle resonance on 1-forms and that semisimplicity persists in this instance. These results have consequences for the order of vanishing at zero of the Ruelle zeta function. Finally our analysis also incorporates a flat unitary twist in both, the resonant spaces and the Ruelle zeta function.

연구 동기 및 목표

• 3차원 다중체에서 체적을 유지하는 Anosov 흐름에 대해 불변 분포의 공진 공간 차원을 불변 불연속성의 이중 불안정 다중체에 포함된 파동 프론트 집합을 갖는 것으로 계산한다.
• 반순수성 조건 하에서 이러한 차원이 Pollicott-Ruelle 공진 다중도와 어떻게 관련되는지 밝힌다.
• 특히 시간이 변형된 쌍곡 기하학적 흐름에서 체적을 유지하는 Anosov 흐름에 대해 1-반순수성의 타당성을 조사한다.
• 접촉 Anosov 흐름의 비영 homologous 변형 하에서 공진 공간과 Ruelle zeta 함수의 행동을 연구한다.
• 평탄한 유니터리 변형이 공진 공간과 zeta 함수에 미치는 영향을 분석한다.

제안 방법

• 공진 공간 $\text{Res}_k(0)$를 $\mathcal{D}'_{E_u^*}(M;\Omega^k)$ 내 분포로 정의하며, 이는 $\iota_X$와 $\iota_X d$에 의해 소멸된다.
• 첫 번째 Betti 수 $b_1(M)$, 코homology 클래스 $[\iota_X\Omega]$, 그리고 헬리시티 $\mathcal{H}(X)$를 사용하여 $\dim\text{Res}_k(0)$를 계산한다.
• 반순수성 조건 하에서 $\dim\text{Res}_k(0)$가 Pollicott-Ruelle 공진 다중도 $m_k(0)$와 일치함을 증명한다.
• Hölder 연속성의 안정/불안정 다중체를 이용하여 시간이 변형된 쌍곡 기하학적 흐름에서 1-반순수성이 실패하는 예를 구성한다.
• 접촉 Anosov 흐름의 비영 homologous 변형을 분석하여 반순수성이 유지되고, 분할 공진 구조가 나타남을 보인다.
• 단위 코접다중체에서의 인보크 및 쌍대성 기법을 통해 평탄한 유니터리 변형을 공진 공간과 Ruelle zeta 함수에 통합한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 다중체에서 체적을 유지하는 Anosov 흐름에 대해 공진 공간 $\text{Res}_k(0)$의 차원은 무엇이며, 이는 위상적 및 역학적 불변량에 어떻게 의존하는가?
• RQ2 언제 $\text{Res}_1(0)$의 차원이 $b_1(M)$을 초과하는가? 그리고 헬리시티는 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 일반적인 체적을 유지하는 Anosov 흐름에 대해 1-반순수성이 성립하는가? 그리고 시간이 변형된 쌍곡 기하학적 흐름에서 이를 실패시킬 수 있는가?
• RQ4 접촉 Anosov 흐름의 비영 homologous 변형은 공진 구조와 반순수성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 평탄한 유니터리 변형은 공진 공간과 Ruelle zeta 함수의 영차수에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 닫힌 3차원 다중체에서 체적을 유지하는 임의의 Anosov 흐름에 대해 $\dim\text{Res}_0(0) = \dim\text{Res}_2(0) = 1$이다.
• $[\iota_X\Omega] \neq 0$이면 $\dim\text{Res}_1(0) = b_1(M) - 1$이다.
• $[\iota_X\Omega] = 0$이면 $\mathcal{H}(X) \neq 0$일 때 $\dim\text{Res}_1(0) = b_1(M)$이며, $\mathcal{H}(X) = 0$일 때는 $b_1(M) + 1$이다.
• $\text{Res}_k(0)$의 차원은 유일하게 유流가 $k$-반순수성일 때 Pollicott-Ruelle 공진 다중도 $m_k(0)$와 일치한다.
• 시간이 변형된 쌍곡 기하학적 흐름 중에서 1-반순수성이 실패하는 것이 존재하며, 이는 안정/불안정 다중체의 Hölder 연속성 때문이다.
• 접촉 Anosov 흐름의 비영 homologous 변형에서는 1형식에서 분할 공진 구조가 나타나며, 1-반순수성이 유지된다.