[논문 리뷰] Restricted Dyck Paths on Valleys Sequence

Rigoberto Flórez, Toufik Mansour외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 17.

Advanced Combinatorial Mathematics인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 연속된 골의 높이 차이가 최소 d 이상이 되는 조건을 부여한 제한된 d-Dyck 경로를 소개한다. d = −1일 때, 정점과 반장의 통계에 대해 이변수 생성함수를 유도하고, 경로의 총 면적에 대한 재귀 관계를 수립하며, 면적 생성함수에 대한 명시적 공식을 제공한다. 주요 기여는 (−1)-Dyck 경로 가족의 완전한 조합론적 및 대수적 특성화이며, 이는 점점 커지는 행동과 재귀적 면적 계산을 포함한다.

ABSTRACT

In this paper we study a subfamily of a classic lattice path, the \emph{Dyck paths}, called \emph{restricted $d$-Dyck} paths, in short $d$-Dyck. A valley of a Dyck path $P$ is a local minimum of $P$; if the difference between the heights of two consecutive valleys (from left to right) is at least $d$, we say that $P$ is a restricted $d$-Dyck path. The \emph{area} of a Dyck path is the sum of the absolute values of $y$-components of all points in the path. We find the number of peaks and the area of all paths of a given length in the set of $d$-Dyck paths. We give a bivariate generating function to count the number of the $d$-Dyck paths with respect to the the semi-length and number of peaks. After that, we analyze in detail the case $d=-1$. Among other things, we give both, the generating function and a recursive relation for the total area.

연구 동기 및 목표

• 매개변수 d로 정의된 연속 골 높이 차이에 대한 제약을 도입함으로써 비감소 Dyck 경로를 일반화한다.
• 특히 d < 0일 때, 생성함수가 유리함수가 아니라 대수적이 되는 d-Dyck 경로의 조합적 구조를 분석한다.
• d ≤ 0일 때, 반장과 정점 수에 따라 d-Dyck 경로를 세는 이변수 생성함수를 도출한다.
• 총 면적에 대한 (−1)-Dyck 경로의 구조를 조사하고, 면적 생성함수에 대한 재귀적 및 기호적 표현을 수립한다.
• (−1)-Dyck 경로의 반장 n에 대한 수열 r−1(n)의 점점 커지는 행동을 탐구한다.

제안 방법

• 연속된 골의 높이 차이에 대한 제약 νi+1 − νi ≥ d를 통해 d-Dyck 경로의 개념을 도입한다.
• ℓ(P)가 반장이고 ρ(P)가 정점 수이므로, 이변수 생성함수 Ld(x, y) = ∑P∈Dd x^ℓ(P)y^ρ(P)를 정의한다.
• d = −e < 0일 때, 보조 대수적 함수 Se(x, y)를 포함하는 함수 방정식을 Le(x, y)에 대해 도출하며, 이는 복잡한 대수적 방정식을 만족한다.
• d = −1일 때, 삼각형 기저와 피라미드로 분해된 경로를 이용하여 경로 수 r−1(n)과 총 면적 a(n)에 대한 재귀 관계를 구성한다.
• 생성함수 기법과 재귀적 분해를 사용하여 면적 생성함수에 대한 기호적 표현을 도출한다.
• 간소화 및 텔레스코프 기법을 적용하여 면적 수열 a(n)에 대한 간결한 재귀 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속된 골 높이 차이에 대한 제약(νi+1 − νi ≥ d)은 Dyck 경로의 구조와 세기적 계산에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 반장과 정점 수에 대해 d-Dyck 경로의 이변수 생성함수는 무엇이며, 특히 d ≤ 0일 경우 어떻게 되는가?
• RQ3 (−1)-Dyck 경로의 총 면적의 재귀적 구조는 무엇이며, 이를 기호적 또는 재귀적으로 표현할 수 있는가?
• RQ4 수열 r−1(n)은 점점 커지면서 어떻게 성장하는가? 그리고 그 조합론적 해석은 무엇인가?
• RQ5 (−1)-Dyck 경로의 면적 생성함수는 닫힌 형태로 표현할 수 있는가, 또는 함수 방정식으로 표현할 수 있는가?

주요 결과

• d = −1일 때, 이변수 생성함수 Le(x, y)는 대수적 함수 Se(x, y)를 포함하는 함수 방정식을 만족하며, 이는 비유리 대수적 방정식으로 정의된다.
• 총 (−1)-Dyck 경로 수 r−1(n)은 다음 재귀 관계를 만족한다: r−1(n) = 2r−1(n−1) + r−1(n−2) + 2r−1(n−3) + (2n−5)q_{n−3} + ...이며, 특정 초깃값을 가진다.
• 반장 n인 모든 (−1)-Dyck 경로의 총 면적 a(n)은 다음 재귀 공식을 만족한다: a(n) = 3a(n−1) − a(n−2) + A_{n−2} + 2(n−1)q_{n−2} + 2n r−1(n−1) + ...
• (−1)-Dyck 경로의 면적 생성함수는 삼각형 기저, 피라미드 구조 및 임bedded된 부분경로의 기여를 포함하여 기호적으로 도출된다.
• r−1(n)의 점점 커지는 성장을 분석하였으며, 카탈란 수보다 더 빠르게 성장함을 보였지만, 정확한 점점 커지는 형태는 명시적으로 계산되지 않았다.
• 논문은 (−1)-Dyck 경로의 총 면적과 카탈란 수 사이의 연결고리를 설정하였으며, 모든 Dyck 경로의 총 면적이 4^n − C_{n+1}임을 기록하였다. 여기서 C_n는 제n개의 카탈란 수이다.