[논문 리뷰] Restricted Stirling and Lah numbers, and their inverses

David Galvin|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 01.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 블록, 순환 또는 목록의 크기가 1을 포함하는 자연수의 부분집합 R ⊆ ℕ로 제한된 제한된 제2종 스틸링 수, 제1종 스틸링 수 및 라호 수의 역행렬에 대한 조합적 해석을 제공한다. 짝수 r에 대해서는 역행렬의 항들이 산림의 직접적인 수로 계산되며, 홀수 r에 대해서는 산림 집합 간의 부호가 붙은 차이로 해석된다. 이 결과는 1을 포함하는 임의의 R에 대해 일반화되며, 거듭제곱 급수의 역함수 기법을 사용한다.

ABSTRACT

Let ${n \brace k}_{[r]}$ denote the number of ways of partitioning a set of size $n$ into $k$ non-empty blocks, each of which has size at most $r$. For all $r$ we find a combinatorial interpretation for the entries of the inverse of the matrix $\left[{n \brace k}_{[r]} ight]_{n,k \geq 1}$. For even $r$ we exhibit sets of forests counted by the entries of the inverse. For odd $r$ our interpretation is as the difference in size between two sets of forests. This answers a question raised by Choi, Long, Ng and Smith in 2006. More generally we consider restricted Stirling numbers of the second and first kinds ${n \brace k}_{R}$, ${n \brack k}_{R}$, and Lah numbers $L(n,k)_{R}$, for ${R} \subseteq {\mathbb N}$. These are defined to be the number of ways of partitioning a set of size $n$ into $k$ non-empty blocks (for Stirling numbers of the second kind), cycles (for Stirling numbers of the first kind) or lists (for Lah numbers) with the size of each block, cycle or list in ${R}$. For any ${R}$ satisfying $1 \in {R}$ (a necessary condition for the inverses to exist) we find combinatorial interpretations for the entries of the inverses of the matrices $\left[{n \brace k}_{R} ight]_{n,k \geq 1}$, $\left[{n \brack k}_{R} ight]_{n,k \geq 1}$ and $\left[L(n,k)_{R} ight]_{n,k \geq 1}$, as the difference in size between two sets of forests. In the case of Stirling numbers of the second kind and Lah numbers, for certain ${R}$ we can do better, interpreting the inverse entries directly as counts of single sets of forests. Among these ${R}$'s are those which include $1$ and $2$ and which have the property that for all odd $n \in {R}$, $n \geq 3$, we have $n\pm1 \in {R}$. Our proofs depend in part on two combinatorial interpretations of the coefficients of the reversion (compositional inverse) of a power series.

연구 동기 및 목표

• 최근에 채이, 롱, 닝, 스미스(2006)가 제기한 질문을 해결한다: 제2종 스틸링 수의 제한된 행렬의 역행렬이 블록 크기가 최대 r일 때 조합적으로 무엇을 의미하는가?
• 이를 일반적인 크기 제약 조건 R ⊆ ℕ 하에서 제1종 스틸링 수 및 라호 수로 확장한다.
• 제한된 분할 수의 역행렬 항들에 대한 통일된 조합적 프레임워크를 제공한다: 산림의 부호가 붙은 차이와 직접적인 수를 기반으로 한다.
• 1 ∈ R인 집합 R 중에서 역행렬 항이 부호가 붙지 않은 직접적인 산림 수로 해석될 수 있는 집합을 특성화한다. 특히 1과 2를 포함하고, 홀수 n ≥ 3에 대해 n → n±1에 대해 닫혀 있는 집합을 중심으로 한다.

제안 방법

• 거듭제곱 급수의 복합역함수(역함수)의 계수를 분석 도구로 사용하여 조합적 해석을 도출한다.
• 역행렬 항들과 대응되는 산림의 가족을 구성하며, 홀수 크기 제약 조건에는 부호를 할당한다.
• 두 가지 다른 재귀 계수의 조합적 해석을 적용하여 제1종과 제2종 스틸링 수, 라호 수를 통합적으로 다룬다.
• 제한된 제2종 스틸링 수 ${n race k}_{R}$, 제1종 스틸링 수 ${n rack k}_{R}$, 라호 수 $L(n,k)_{R}$를 크기가 R에 속하는 블록, 순환 또는 목록으로 분할하는 수로 정의한다.
• R에 1이 포함되어 있고, 홀수 n ≥ 3에 대해 n±1에 대해 닫혀 있을 경우, 역행렬 항이 부호의 번갈아가지 않게 산림을 직접 세는 것으로 해석됨을 증명한다.
• 생성함수와 산림의 구조적 분해를 사용하여, 부호가 붙은 또는 붙지 않은 집합 크기로 역행렬 항을 모델링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제한된 제2종 스틸링 수의 행렬 $[{n race k}_{[r]}]_{n,k \to 1}$의 역행렬 항의 조합적 의미는 무엇인가? 이 경우 블록 크기는 최대 r이다.
• RQ2 블록/순환/목록 크기가 ℕ의 부분집합 R ⊆ ℕ로 제한될 때, 제한된 제1종 스틸링 수 및 라호 수의 역행렬 항은 어떻게 조합적으로 해석할 수 있는가?
• RQ3 1 ∈ R인 어떤 집합 R ⊆ ℕ에 대해, 역행렬 항이 부호가 붙은 차이가 아니라 산림의 직접적인 수로 해석될 수 있는가?
• RQ4 거듭제곱 급수의 역함수 계수는 이러한 조합적 해석을 도출하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 제1종과 제2종 스틸링 수, 라호 수에 대해 공통의 프레임워크를 사용하여 통합된 해석이 가능할 수 있는가?

주요 결과

• 짝수 r에 대해서는, $[{n race k}_{[r]}]$의 역행렬 항들이 특정 유형의 산림의 수를 세는 것으로 직접적인 조합적 해석을 제공한다.
• 홀수 r에 대해서는 항들이 두 산림 집합 간의 부호가 붙은 크기의 차이로 해석되며, 채이 등(2006)이 제기한 열린 문제를 해결한다.
• 1 ∈ R인 임의의 R ⊆ ℕ에 대해, $[{n race k}_{R}]$, $[{n rack k}_{R}]$, $[L(n,k)_{R}]$의 역행렬 항은 산림의 기수의 부호가 붙은 차이로 주어진다.
• R에 1과 2가 포함되어 있고, 홀수 n ≥ 3에 대해 n±1에 대해 닫혀 있을 경우, 역행렬 항은 부호의 번갈아가지 않게 산림을 직접 세는 것으로 해석된다.
• 증명은 거듭제곱 급수의 복합역함수 계수의 두 가지 조합적 해석을 기반으로 하며, 이는 제1종과 제2종 스틸링 수, 라호 수에 대한 통합적 접근을 가능하게 한다.
• 이 프레임워크는 1을 포함하는 임의의 크기 제약 조건 R에 대해 모든 제한된 분할 수로 일반화되며, 제1종과 제2종 스틸링 수 및 라호 수를 포함한다.