[논문 리뷰] Restriction categories III: colimits, partial limits, and extensivity

J.R.B. Cockett, Stephen Lack|2006. 10. 16.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 10인용 수 56

한 줄 요약

이 논문은 제약 범주에서 쌍대극한과 극한의 이론을 개발하며, 특정 호환 조건을 갖춘 린스 극한으로서의 '부분 극한'이라는 새로운 개념을 도입한다. 제약 쌍대곱이 광역적일 경우 전체 범주가 lextensive가 되며, 분배 범주에 대한 광역 완비화를 제약 범주의 이중반사에 의한 2범주 광역 범주의 범주론적 구성으로 제공한다.

ABSTRACT

A restriction category is an abstract formulation for a category of partial maps, defined in terms of certain specified idempotents called the restriction idempotents. All categories of partial maps are restriction categories; conversely, a restriction category is a category of partial maps if and only if the restriction idempotents split. Restriction categories facilitate reasoning about partial maps as they have a purely algebraic formulation. In this paper we consider colimits and limits in restriction categories. As the notion of restriction category is not self-dual, we should not expect colimits and limits in restriction categories to behave in the same manner. The notion of colimit in the restriction context is quite straightforward, but limits are more delicate. The suitable notion of limit turns out to be a kind of lax limit, satisfying certain extra properties. Of particular interest is the behaviour of the coproduct both by itself and with respect to partial products. We explore various conditions under which the coproducts are ``extensive'' in the sense that the total category (of the related partial map category) becomes an extensive category. When partial limits are present, they become ordinary limits in the total category. Thus, when the coproducts are extensive we obtain as the total category a lextensive category. This provides, in particular, a description of the extensive completion of a distributive category.

연구 동기 및 목표

• 제약 범주에서 쌍대극한과 극한을 체계화하여, 범주론의 이중성이 제약 범주로까지 확장되지 않음을 인식하는 것.
• 제약 범주에서 적절한 극한의 개념을 정의하며, 부분성의 비대칭성으로 인해 일반 극한이 아닌 특정 구조를 갖춘 린스 극한여야 한다는 것을 보여주는 것.
• 제약 쌍대곱이 '광역적'일 조건을 규명하여, 광역 범주에서의 쌍대곱처럼 행동함을 의미하는 것.
• 광역적 쌍대곱과 부분 곱을 갖는 제약 범주의 전체 범주가 lextensive가 되며, 이로써 분배 범주에 대한 광역 완비화를 구성하는 것.
• 모든 분배 범주가 유한 곱을 갖는 광역 범주의 2범주로의 이중반사를 수립하며, 분류 모나드와 제약 범주의 전체 범주를 사용하는 것.

제안 방법

• 제약 범주를 부분 사상의 범주에서의 전체 부분범주로 정의하며, 제약 등幂사상(f̄가 f̄f = f 및 f̄ḡ = ḡf̄를 만족하는 사상)이 도메인 정보를 표현한다.
• 제약 쌍대곱을 제약 범주의 2범주 rCat에서의 쌍대곱으로 정의하며, 이 2범주에서 대각선과 종단 사상에 대한 좌수반사가 필요하다.
• 부분 곱을 2범주 rCatl에서 린스 자연변환을 2세모로 갖는 카르테시안 객체로 정의하여 제약 구조와의 호환성을 확보한다.
• 제약 곱과 쌍대곱을 갖는 제약 범주의 전체 범주가 쌍대곱이 광역적일 경우 lextensive 범주가 되는 것을 특성화한다.
• 분배 범주 D에 대해 범주 K_r(D_{+1})의 구성 방법을 사용하여, D의 광역 완비화가 되는 전체 범주를 구축한다.
• 이중수반과 분류 모나드를 적용하여, 자연스러운 함자 N: D → Total(K_r(D_{+1}))가 Total(K_r(D_{+1}))가 유한 곱을 갖는 광역 범주의 2범주로의 D의 이중반사임을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기 이중성이 결여된 제약 범주에서 쌍대극한은 어떻게 정의되어야 하는가?
• RQ2 제약 범주에서 올바른 극한의 개념은 무엇이며, 일반 범주에서의 일반 극한과 어떻게 다를까?
• RQ3 제약 쌍대곱이 광역 범주에서의 쌍대곱처럼 행동하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 제약 범주와 분류 모나드를 사용하여 분배 범주의 광역 완비화를 범주론적으로 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 분류 모나드의 사상이 광역 완비화의 보편 성질을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 제약 쌍대곱은 2범주 rCat에서의 쌍대곱으로 정의되며, 대각선과 종단 사상에 대한 좌수반사가 필요하여 제약 구조와의 호환성을 확보한다.
• 제약 범주에서의 극한 개념은 일반 극한이 아니라, 제약 등幂사상과 관련된 특정 호환 조건을 갖춘 린스 극한이다.
• 제약 쌍대곱이 광역적일 경우 제약 범주의 전체 범주는 lextensive가 되며, 이는 유한 곱과 광역 성질을 갖는 쌍대곱을 모두 갖는다는 의미이다.
• 분배 범주 D에 대해 K_r(D_{+1})의 전체 범주는 이중반사에 의해 유한 곱을 갖는 광역 범주의 2범주로의 D의 광역 완비화로 나타나며, 이를 보여준다.
• 유한 쌍대곱을 보존하는 분배 범주 간의 함자는 유일하게 분류 모나드의 사상으로 확장되며, 이러한 함자 간의 자연변환은 자동으로 분류 모나드의 변환임을 보여준다.
• 자연스러운 함자 N: D → Total(K_r(D_{+1}))는 Total(K_r(D_{+1}))가 유한 곱을 갖는 광역 범주의 2범주로의 D의 이중반사임을 보여주며, 광역 완비화의 보편 성질을 확립한다.