[논문 리뷰] Restructuring of Discrete Logarithm Problem and ElGamal Cryptosystem by Using the Power Fibonacci Sequence Module M

Çağla Özyılmaz, Ayşe Nallı|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 16.

Coding theory and cryptography참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복합수 $ m $ 모듈로의 거듭제곱 피보나치 수열에서 이산 로그 문제에 기반한 엘가말 암호체계의 새로운 변종을 제안한다. 이러한 수열의 순환적이고 곱셈군의 구조를 활용하여 저자들은 이산 로그 문제를 소수 모듈로가 아닌 복합 모듈로로 재구성함으로써, 기존의 소수 기반 엘가말과는 달리 보다 높은 보안성과 더 넓은 평문 공간을 갖춘 새로운 암호체계를 설계하였다. 이로 인해 공격자에게는 더 높은 계산 난이도가 발생하여 암호학적 이점이 향상된다.

ABSTRACT

In this paper, we have studied on adapting to asymmetric cryptography power Fibonacci sequence module m . To do this, We have restructed Discreate Logarithm Problem which is one of mathematical difficult problems by using power Fibonacci sequence module m and by means of this sequences, we have made the mathematical difficult problem which is used only in prime modules is also useful for composite modules. Then we have constructed cryptographic system based on this more difficult problem which we have rearranged. Hence, we have obtained a new cryptosystem as ElGamal Cryptosystem. Lastly, we have compared that ElGamal Cryptosystem and a new cryptosystem which we constitute in terms of cryptography and we have obtained that a new cryptosystem is more advantageuos than ElGamal Cryptosystem.

연구 동기 및 목표

• 거듭제곱 피보나치 수열을 활용하여 이산 로그 문제의 적용 범위를 소수 모듈로에서 복합 모듈로로 확장하는 것.
• 거듭제곱 피보나치 수열 모듈로 $ m $ 에 기반한 재구성된 이산 로그 문제를 바탕으로 새로운 공개키 암호체계를 설계하는 것.
• 암호 분석의 난이도를 높이고 평문 공간을 확장함으로써 기존 엘가말 암호체계를 개선하는 것.
• 기존 엘가말과 비교하여 복합 모듈로 조건 하에서 더 강력한 암호학적 보안성을 제공함을 보여주는 것.

제안 방법

• 모듈로 $ m $ 에서의 거듭제곱 피보나치 수열을 정의하고, 이들이 $ \mathbb{Z}_m^* $ 의 순환 곱셈부군을 이룬다는 것을 보여준다.
• 이산 로그 문제를 재구성하여 $ \alpha^a \equiv \beta \pmod{m} $ 를 만족하는 $ a $ 를 찾는 문제로 정의한다. 여기서 $ \alpha $ 는 모듈로 $ m $ 의 거듭제곱 피보나치 수열에서 유도된 부분군의 생성자이다.
• 모듈로 $ m $ 에서의 $ \alpha $, $ \beta = \alpha^a \mod m $, 그리고 무작위 수 $ k $ 를 사용하여 $ y_1 = \alpha^k \mod m $, $ y_2 = x \cdot \beta^k \mod m $ 를 계산하는 새로운 엘가말 유사 암호체계를 구성한다.
• 비밀키 $ a $ 를 사용하여 $ x = y_2 \cdot (y_1^a)^{-1} \mod m $ 를 통해 복호화를 수행한다.
• 복합수 $ m $, 예를 들어 $ m = 1045 $ 를 사용하여 $ \mathbb{Z}_m^* $ 의 부분군에서 원소 $ \alpha $ 가 원시 원소가 되도록 하여 평문 공간의 크기를 증가시킨다.
• 구체적인 예시를 통해 $ m = 1045 $, $ \alpha = 338 $, $ a = 547 $, $ x = 1001 $, $ k = 162 $ 를 사용하여 암호화 결과로 $ (y_1, y_2) = (229, 374) $ 를 도출하였고, 이는 정상적으로 1001로 복호화됨을 확인하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 거듭제곱 피보나치 수열을 사용하여 복합 모듈로에서 이산 로그 문제를 재구성할 수 있는가?
• RQ2 모듈로 $ m $ 의 거듭제곱 피보나치 수열을 기반으로 한 암호체계는 기존 표준 엘가말 대비 더 안전한 대안이 될 수 있는가?
• RQ3 새로운 체계의 평문 공간은 기존의 고전적 엘가말 체계와 비교하여 크기와 보안 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ4 특히 $ m = 5p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots $ 와 같이 복합수 형태로 $ m $ 를 사용할 경우, 새로운 암호체계의 보안성과 효율성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 모듈로 $ m $ 의 거듭제곱 피보나치 수열은 $ \varphi(m) $ 를 나누는 순서를 가진 $ \mathbb{Z}_m^* $ 의 순환 곱셈부군을 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 거듭제곱 피보나치 수열 모듈로 $ m $ 는 $ \mathbb{Z}_m^* $ 의 순환 곱셈부군을 이룬다. 이들의 순서는 $ \varphi(m) $ 를 나누며, 암호학적 활용을 위한 대수적 구조를 제공한다.
• 모듈로 $ m $ 의 거듭제곱 피보나치 수열 기반 이산 로그 문제는 복합 모듈로에서도 적용 가능하도록 재구성되었으며, 이는 문제의 적용 범위를 소수 체를 넘어서 확장함을 의미한다.
• 이 새로운 암호체계는 '모듈로 $ m $ 에서의 거듭제곱 피보나치 수열 기반 엘가말'로 명명되었으며, 평문의 크기를 $ m-1 $ 까지 허용하는 반면 기존 엘가말은 $ p-1 $ 로 제한되어 있어 평문 공간이 크게 증가하였다.
• 동일한 보안 수준에서 공격자가 시도해야 할 가능한 값의 수가 증가하여 브루트 포스 공격에 대한 저항력이 향상된다.
• 구체적인 예시인 $ m = 1045 $, $ \alpha = 338 $, $ a = 547 $, $ x = 1001 $, $ k = 162 $ 를 통해 암호화 결과 $ (229, 374) $ 를 도출하였고, 이는 정상적으로 1001로 복호화됨을 확인하여 체계의 타당성을 입증하였다.
• 복합 모듈로 조건 하에서 거듭제곱 피보나치 수열을 활용한 이산 로그 문제의 해법 난이도가 증가함에 따라, 새로운 체계는 기존 엘가말보다 더 유리한 암호학적 이점을 지닌다.