[논문 리뷰] Resultants and Chow forms via Exterior Syzygies

David Eisenbud, Frank–Olaf Schreyer|ArXiv.org|2001. 11. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 12인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 외적 심지와 그라스만만의 캐논컬 초우 복합체를 사용하여 초우 형식과 결과식을 계산하는 새로운 방법을 제안한다. 이는 빌린슨의 모나드를 일반화한 것으로, 벡터 번들의 이론과 홀로크스-멈포드 번들을 활용하여 결과식에 대해 명시적인 행렬식 및 펄리안 공식을 도출한다. 이는 기존의 고전적 경우를 초월하여 다섯 개의 다섯 변수에서의 8차 형식에 대한 펄리안 표현을 포함한, 결과식에 대한 새로운 공식을 제공한다.

ABSTRACT

Given a sheaf on a projective space P^n we define a sequence of canonical and easily computable Chow complexes on the Grassmannians of planes in P^n, generalizing the Beilinson monad on P^n. If the sheaf has dimension k, then the Chow form of the associated k-cycle is the determinant of the Chow complex on the Grassmannian of planes of codimension k+1. Using the theory of vector bundles and the canonical nature of the complexes we are able to give explicit determinantal and Pfaffian formulas for resultants in some cases where no polynomial formulas were known. For example, the Horrocks-Mumford bundle gives rise to a polynomial formula for the resultant of five homogeneous forms of degree eight in five variables.

연구 동기 및 목표

• 프로젝티브 공간 위의 층에 대한 빌린슨의 모나드를 그라스만만의 캐논컬 초우 복합체를 사용하여 일반화한다.
• 이전에 알려진 공식이 없던 경우에 대해 초우 형식과 결과식에 대한 명시적인 다항식 공식을 제공한다.
• 벡터 번들의 구성 기반으로 고차원 다양체와 고차 다항식으로의 베주-형 및 실베스터-형 공식을 일반화한다.
• 프로젝티브 다양체의 기하학적 성질과 그라스만만에서의 행렬식 및 펄리안의 대수적 구조 사이의 연결 고리를 확립한다.
• 홀로크스-멈포드 번들을 활용하여 다섯 변수에서의 다섯 개의 8차 형식에 대한 결과식에 대한 새로운 펄리안 공식을 유도한다.

제안 방법

• 프로젝티브 공간 $\mathbb{P}^n$ 의 평면에 대한 그라스만만에서 외적 심지와 벡터 번들의 이론을 사용하여 캐논컬 초우 복합체의 수열을 구성한다.
• codimension $k+1$ 평면의 그라스만만에서 $k$ 차원 순환의 초우 형식을 그 복합체의 행렬식으로 정의한다.
• 이 복합체의 캐논컬 성격을 활용하여 플루커 좌표 표현을 유도하며, 특히 반대칭 행렬의 펄리안을 포함한다.
• 특히 $\mathbb{P}^2$ 상의 랭크 두 개의 번들과 홀로크스-멈포드 번들을 포함한 벡터 번들의 이론을 적용하여 새로운 스티벨 좌표 표현을 구성한다.
• 인cidence 사상 $\mathbb{F}_l \to \mathbb{G}_l$ 를 통해 초우의 분할을 당겨내고, 결과식을 스티벨 좌표에서의 행렬식 또는 펄리안으로 표현한다.
• Macaulay2 프로그램을 사용하여 구체적인 예제, 특히 다섯 변수에서의 8차 경우에 대해 유도된 행렬을 계산하고 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 프로젝티브 다양체의 초우 형식은 플루커 또는 스티벨 좌표에서의 행렬식 또는 펄리안으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 기존에 알려진 경우를 초월하여 $k+1$ 개의 동차 다항식이 $k+1$ 개의 변수에 대해 차수 $d$ 인 결과식에 대한 명시적인 다항식 공식은 무엇인가?
• RQ3 홀로크스-멈포드 번들을 사용하여 고차원에서의 결과식에 대한 새로운 펄리안 공식을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 외적 심지와 캐논컬 복합체 이론이 빌린슨의 모나드를 초우 형식을 계산하는 데 있어 얼마나 일반화될 수 있는가?
• RQ5 플루커 좌표에서의 반대칭 행렬을 사용하여 임의의 차수의 삼변수 다항식에 대한 결과식에 대한 새로운 베주-형 공식이 존재하는가?

주요 결과

• 프로젝티브 공간 $\mathbb{P}^n$ 에서의 $k$ 차원 다양체의 초우 형식은 외적 심지를 통해 구성된 그라스만만 $\mathrm{Gr}(k+1, n+1)$ 상의 초우 복합체의 행렬식이다.
• 세 변수에서의 삼차 형식 세 개에 대해 결과식은 플루커 좌표에서 선형 다항식으로 이루어진 $8 \times 8$ 반대칭 행렬의 펄리안으로 주어진다.
• 홀로크스-멈포드 번들은 다섯 변수에서의 다섯 개의 8차 동차 다항식에 대한 결과식에 대해 펄리안 스티벨 표현을 제공하며, 이는 이전에 알려진 다항식 공식이 없던 경우이다.
• 다섯 변수에서의 $k+1$ 개의 다항식에 대해 $d \geq 2$ 인 경우에 대해 새로운 스티벨 표현을 구성하였으며, 이는 기존의 $k \leq 3$ 및 $k=4, d=2$ 경우를 초월한다.
• 이 방법은 결과적으로 행렬을 생성하는 명시적인 Macaulay2 코드를 생산하여 이전에는 접근이 어려웠던 결과식의 계산을 가능하게 한다.
• 이 이론은 임의의 차수의 삼변수 다항식에 대한 결과식에 대해 플루커 좌표에서의 베주-형 공식을 체계적으로 도출하는 프레임워크를 제공한다.