[논문 리뷰] Results and conjectures related to a conjecture of Erdős concerning primitive sequences

Bakir Farhi|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 25.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 에르되시의 추측, 즉 1보다 큰 원시수열 A에 대해 합 ∑₁/(a log a)가 소수 수열일 때 최대가 되는 바를 조사한다. x ≥ 363일 때, 유사한 합 ∑₁/(a(log a + x))가 특정 균일 수열(예: 정확히 5개의 소인수를 가진 수)에서 소수 합을 초과함을 증명하여, 에르되시 추측의 자연스러운 일반화가 잘못되었음을 밝힌다. 이 결과는 큰 x에 대해 소수 수열이 가중치 합을 최대화하지 못함을 보여주며, 최대화 수열이 x에 따라 달라질 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

A strictly increasing sequence $\mathscr{A}$ of positive integers is said to be primitive if no term of $\mathscr{A}$ divides any other. Erdős showed that the series $\sum_{a \in \mathscr{A}} \frac{1}{a \log a}$, where $\mathscr{A}$ is a primitive sequence different from $\{1\}$, are all convergent and their sums are bounded above by an absolute constant. Besides, he conjectured that the upper bound of the preceding sums is reached when $\mathscr{A}$ is the sequence of the prime numbers. The purpose of this paper is to study the Erdős conjecture. In the first part of the paper, we give two significant conjectures which are equivalent to that of Erdős and in the second one, we study the series of the form $\sum_{a \in \mathscr{A}} \frac{1}{a (\log a + x)}$, where $x$ is a fixed non-negative real number and $\mathscr{A}$ is a primitive sequence different from $\{1\}$. In particular, we prove that the analogue of Erdős's conjecture for those series does not hold, at least for $x \geq 363$. At the end of the paper, we propose a more general conjecture than that of Erdős, which concerns the preceding series, and we conclude by raising some open questions.

연구 동기 및 목표

• 원시수열에 대해 ∑₁/(a log a)의 합이 소수 수열일 때 최대가 되는지 여부를 조사하는 것.
• 비음수 x에 대해 ∑₁/(a(log a + x)) 형태의 합으로 추측이 일반화되는지 탐색하는 것.
• 큰 x에 대해 소수 수열이 여전히 최적의 가중치 합을 갖는지, 아니면 다른 원시수열이 더 큰 값을 갖는지 확인하는 것.
• 각 x ≥ 0에 대해 ∑₁/(a(log a + x))의 Supremum이 어떤 균일 수열 P_k(정확히 k개의 소인수를 가진 수)에 의해 도달된다는 일반화된 추측을 제안하는 것.
• 소수 합이 최대가 되지 않는 x값의 집합 I에 대한 열린 문제를 특정하는 것.

제안 방법

• 에르되시 원래 추측과 동치인 두 개의 추측을 도입: A의 소인수를 기반으로 하는 것과 A의 크기를 기반으로 하는 것.
• 고정된 x ≥ 0에 대해 원시수열 A ≠ {1}과 S(A, x) = ∑₁/(a(log a + x))의 가중치 합을 분석.
• 특히 P_5를 포함한 균일 수열 P_k = {n : Ω(n) = k}를 시험용 사례로 사용하여 반례를 구성.
• Excel의 Solver를 통해 매개변수 α, d, c를 포함한 경계 식의 최소화를 통한 최적화 기법을 적용하여 임계값 x₀ = 363를 도출.
• P_k에 대한 합의 하한을 유도하고 소수 합과 비교하여, x ≥ 363일 때 앞의 합이 뒤의 합을 초과할 수 있음을 보임.
• x ≥ 363일 때, 특정 원시수열(특히 P_5)이 존재하여 ∑₁/(a(log a + x)) > ∑₁/(p(log p + x))임을 증명.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 x ≥ 0에 대해 원시수열에 대한 ∑₁/(a(log a + x))의 합이 소수 수열에서 최대가 되는가?
• RQ2 소수 수열이 ∑₁/(a(log a + x))를 최대화하지 못하는 x의 값은 무엇인가?
• RQ3 모든 x ≥ x₀에 대해 어떤 P_k(균일 수열)에 대한 합이 소수에 대한 합을 초과하는 x₀의 값이 존재하는가?
• RQ4 소수 합이 최대가 되지 않는 x값의 집합 I는 위상적으로 특성화될 수 있는가(예: 구간, 열린 집합, 닫힌 집합 등)?
• RQ5 집합 I의 하한은 무엇이며, x = 0을 포함하는가?

주요 결과

• x ≥ 363일 때, 특정 원시수열(특히 정확히 5개의 소인수를 가진 정수의 집합인 P_5)이 존재하여 ∑₁/(a(log a + x)) > ∑₁/(p(log p + x))임을 보였다.
• 임계값 x₀ = 363는 효과적으로 계산 가능하며, 매개변수 α, d, c를 포함한 경계의 최적화를 통해 유도되었다.
• 이 결과는 에르되시 추측을 ∑₁/(a(log a + x))로 자연스럽게 일반화한 것이 x ≥ 363에 대해 잘못되었음을 보여준다.
• 큰 x에 대해 소수 수열이 가중치 합 ∑₁/(a(log a + x))를 최대화하지 못함을 보여주며, 최대화 수열이 x에 따라 달라질 수 있음을 시사한다.
• 논문은 추측 3.6을 제안하여, 각 x ≥ 0에 대해 ∑₁/(a(log a + x))의 Supremum이 k ≥ 1인 어떤 균일 수열 P_k에 의해 도달된다고 주장한다.
• 소수 합이 최대가 되지 않는 x값의 집합 I는 [363, ∞)를 포함하지만, 그 전체적인 구조(예: 구간인지, 열린 집합인지 닫힌 집합인지 등)는 아직 알려져 있지 않다.