[논문 리뷰] RESULTS ON THE SUPREMUM OF FRACTIONAL BROWNIAN MOTION

Ceren Vardar|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 01.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 8인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 자기유사성의 성질을 이용하여 허스트 매개수 H > 1/2인 반사 분수 브라운 운동(fBm)의 최대값의 상한과 수준 1에 도달하는 시간 사이의 관계를 수립한다. 이와 함께 최대값의 2차 모멘트에 대해 a²ᴴ의 상계를 도출하고, 젠센의 부등식과 마르코프의 부등식을 활용하여 날카로운 꼬리 확률 경계를 제공하며, 감마 분포의 성질을 이용한 보완을 통해 보다 정밀한 추정을 한다. 금융 시장에 대한 응용도 논의된다.

ABSTRACT

We show that the distribution of the square of the supremum of re∞ected fractional Brownian motion up to time a, with Hurst parameterH greater than 1/2, is related to the distribution of its hitting time to level 1, using the self similarity property of fractional Brownian motion. It is also proven that the second moment of supremum of re∞ected fractional Brownian motion up to time a is bounded above by a 2H . Similar relations are obtained for the supremum of fractional Brownian motion with Hurst parameter greater than 1/2, and its hitting time to level 1. What is more, we obtain an upper bound on the complementary probability distribution of the supremum of fractional Brownian motion and re∞ected fractional Brownian motion up to time a, using Jensen’s and Markov’s inequalities. A sharper bound is observed on the distribution of the supremum of fractional Brownian motion by the properties of Gamma distribution. Finally, applications of the given results to flnancial markets are investigated, and partial results are provided.

연구 동기 및 목표

• H > 1/2인 반사 분수 브라운 운동의 최대값과 수준 1에 도달하는 시간 사이의 관계를 조사하는 것.
• 시간 a까지의 반사 fBm 최대값의 2차 모멘트에 대한 상계를 도출하는 것.
• 표준 fBm의 최대값과 그 수준 도달 시간 분포로의 분석을 확장하는 것.
• 스토크asti크 부등식과 감마 분포 성질을 활용하여 최대값의 꼬리 확률 추정치를 향상시키는 것.
• 이 결과들이 장기적 기억성 특성을 가진 금융 모델링 맥락에서 어떻게 활용될 수 있는지 탐색하는 것.

제안 방법

• 분수 브라운 운동의 자기유사성 성질을 활용하여 최대값의 분포를 수준 1에 도달하는 시간의 분포와 연결한다.
• 마르코프의 부등식과 젠센의 부등식을 적용하여 최대값의 여부누적분포함수에 대한 상계를 도출한다.
• 감마 분포의 성질을 활용하여 fBm 최대값의 꼬리 확률에 대해 더욱 날카로운 경계를 확보한다.
• 자기유사성과 모멘트 분석을 통해 반사 fBm 최대값의 2차 모멘트에 대해 a²ᴴ의 상계를 유도한다.
• 표준 fBm과 반사 fBm 모두에 대해 프레임워크를 확장하고, 최대값 분포와 수준 도달 시간 행동을 비교 분석한다.
• 특히 장기적 기억성과 변동성의 모델링에 기여하는 바를 고려하여 금융 시장에 대한 부분적인 응용을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 H > 1/2일 때 반사 fBm 최대값의 분포는 수준 1에 도달하는 시간 분포와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 시간 a까지의 반사 fBm 최대값의 2차 모멘트에 대해 어떤 상계를 설정할 수 있는가?
• RQ3 감마 분포 성질을 활용하여 fBm 최대값의 더 날카로운 꼬리 확률 경계를 유도할 수 있는가?
• RQ4 자기유사성 하에서 fBm의 최대값과 수준 도달 시간 분포는 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이 결과들은 장기적 기억성을 가진 금융 시장의 자산 가격 동적 모델링에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 시간 a까지의 반사 fBm 최대값의 제곱 분포는 자기유사성에 의해 수준 1에 도달하는 시간 분포와 연결된다.
• H > 1/2일 때 시간 a까지의 반사 fBm 최대값의 2차 모멘트는 a²ᴴ 이하로 상계된다.
• 마르코프의 부등식과 젠센의 부등식을 활용하여 최대값의 여부누적분포함수에 대한 상계가 도출된다.
• 감마 분포의 성질을 활용하여 fBm 최대값의 꼬리 확률에 대해 더욱 날카로운 경계가 확보된다.
• 결과는 표준 fBm로도 확장되며, 그 최대값과 수준 1에 도달하는 시간 사이의 유사한 관계가 확인된다.
• 금융 시장에 대한 부분적인 응용이 제공되며, 장기 기억 과정과 극단적 가격 변동의 모델링에서의 관련성이 시사된다.