[논문 리뷰] Revan-degree indices on random graphs

R. Aguilar-Sanchez, I. F. Herrera-González외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 10.

Graph theory and applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 무작위 그래프에서 Revan-도수 기반의 위상적 및 곱셈적 위상적 인덱스를 소개하고 분석하며, Revan 정점 도수 $r_u = \Delta + \delta - d_u$를 사용하여 새로운 불변량 $RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)$ 및 $RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)$를 제안한다. 정규화된 $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle /n$ 및 $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle /n$이 평균 Revan 도수 $\langle r\rangle$에 따라 스케일링됨을 보이며, 밀도가 높은 그래프 근사에서 해석적 표현을 유도하여, 낮은 $\langle r\rangle$에서 표준 도수 기반 인덱스와의 핵심적 차이를 드러낸다.

ABSTRACT

Given a simple connected non-directed graph $G=(V(G),E(G))$, we consider two families of graph invariants: $RX_Σ(G) = \sum_{uv \in E(G)} F(r_u,r_v)$ (which has gained interest recently) and $RX_Π(G) = \prod_{uv \in E(G)} F(r_u,r_v)$ (that we introduce in this work); where $uv$ denotes the edge of $G$ connecting the vertices $u$ and $v$, $r_u$ is the Revan degree of the vertex $u$, and $F$ is a function of the Revan vertex degrees. Here, $r_u = Δ+ δ- d_u$ with $Δ$ and $δ$ the maximum and minimum degrees among the vertices of $G$ and $d_u$ is the degree of the vertex $u$. Particularly, we apply both $RX_Σ(G)$ and R$X_Π(G)$ on two models of random graphs: Erdös-Rényi graphs and random geometric graphs. By a thorough computational study we show that $\left< RX_Σ(G) ight>$ and $\left< \ln RX_Π(G) ight>$, normalized to the order of the graph, scale with the average Revan degree $\left< r ight>$; here $\left< \cdot ight>$ denotes the average over an ensemble of random graphs. Moreover, we provide analytical expressions for several graph invariants of both families in the dense graph limit.

연구 동기 및 목표

• 무작위 그래프 집합에서 Revan-도수 기반 위상적 인덱스(TIs)와 곱셈적 위상적 인덱스(MTIs)의 연구를 정당화한다.
• 특히 곱셈적 형태의 Revan-도수 인덱스에 대한 체계적인 통계적 분석의 부족을 해결한다.
• $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle /n$ 및 $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle /n$이 평균 Revan 도수 $\langle r\rangle$에 따라 어떻게 스케일링되는지의 규칙을 설정한다.
• 밀도가 높은 그래프 근사에서 이러한 인덱스에 대한 해석적 표현을 제공한다.
• 표준 도수 기반 인덱스와 다를 수 있는 영역에서 Revan-도수 기반 인덱스의 유용성을 부각시킨다.

제안 방법

• 그래프 내 최대 및 최소 도수 $\Delta$와 $\delta$를 고려하여 Revan 정점 도수를 $r_u = \Delta + \delta - d_u$로 정의한다.
• 두 가지 새로운 그래프 불변량을 도입한다: $RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G) = \sum_{uv \in E(G)} F(r_u, r_v)$ 및 $RX_{\rm \textstyle \Pi}(G) = \prod_{uv \in E(G)} F(r_u, r_v)$로, 여기서 $F$는 Revan 도수의 대칭 함수이다.
• 이 인덱스들을 두 가지 무작위 그래프 모델에 적용한다: 에르되시-레니(ER) 그래프 $G_{\rm \textstyle ER}(n,p)$와 무작위 기하(RG) 그래프 $G_{\rm \textstyle RG}(n,\ell)$.
• 고정된 매개변수를 가진 큰 그래프 집합에 대해 $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle$ 및 $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle$의 집합 평균을 계산한다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 $\langle r\rangle$에 따른 정규화된 인덱스 $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle /n$ 및 $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle /n$의 스케일링 행동을 탐색한다.
• 밀도가 높은 그래프 근사($\langle r\rangle \geq 10$)에서 점근적 분석을 사용하여 $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle$ 및 $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle$의 해석적 표현을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 그래프에서 Revan-도수 기반 위상적 인덱스 $RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)$는 평균 Revan 도수 $\langle r\rangle$에 따라 어떻게 스케일링되는가?
• RQ2 최근 도입된 Revan-도수 기반 곱셈적 위상적 인덱스 $RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)$는 무작위 그래프에서 어떻게 통계적으로 행동하는가?
• RQ3 정규화된 $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle /n$ 및 $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle /n$은 다양한 무작위 그래프 모델 간에 $\langle r\rangle$에 따라 보편적인 스케일링을 보이는가?
• RQ4 밀도가 높은 그래프 근사에서 $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle$ 및 $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle$를 기술하는 해석적 표현은 무엇인가?
• RQ5 표준 도수 기반 인덱스와 다를 수 있는 정보를 제공하는 Revan-도수 기반 인덱스의 영역이 존재하는가?

주요 결과

• 정규화된 평균 $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle /n$은 평균 Revan 도수 $\langle r\rangle$에 따라 스케일링되며, 그에 따른 보편적인 기능적 의존성 $g_{\Sigma}(\langle r\rangle)$를 따르며, 그림 3 및 6에서 이를 확인할 수 있다.
• 정규화된 평균 $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle /n$ 또한 $\langle r\rangle$에 따라 $g_{\Pi}(\langle r\rangle)$로 스케일링되며, 밀도 근사($\langle r\rangle \geq 10$)에서 수치 데이터와 해석적 예측 간 뛰어난 일치를 보이며, 그림 9 및 10에서 이를 확인할 수 있다.
• 밀도가 높은 그래프 근사에서 $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle$ 및 $\langle \ln RX_{\rm \textstyle \Pi}(G)\rangle$에 대한 해석적 표현은 각각 식 (8)–(11) 및 식 (17)–(20)로 도출되었다.
• 밀도가 높은 그래프 근사에서 $\langle r(G)\rangle \approx \langle d(G)\rangle$ 및 $\langle RX_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle \approx \langle X_{\rm \textstyle \Sigma}(G)\rangle$임을 확인하여, Revan-도수 기반 인덱스의 스케일링 법칙이 표준 도수 기반 인덱스의 그것과 일치함을 보여준다.
• 평균 Revan 도수 $\langle r\rangle < 10$일 경우 Revan-도수 기반 인덱스와 도수 기반 인덱스 사이에 뚜렷한 차이가 나타나며, 이는 희박하거나 중간 정도로 밀도가 높은 그래프에서 Revan-도수 기반 인덱스가 보완적인 정보를 제공할 수 있음을 시사한다.
• 본 연구는 두 가지 새로운 인덱스인 곱셈적 잊혀진 인덱스 $F_{\Pi}(G)$와 곱셈적 소모보 인덱스 $SO_{\Pi}(G)$를 도입하고, Revan-도수 기반 MTI의 가족을 확장한다.