[논문 리뷰] Revenue Gaps for Static and Dynamic Posted Pricing of Homogeneous Goods

Paul Dütting, Felix Fischer외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 24.

Auction Theory and Applications참고 문헌 44인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 k개의 동일한 상품을 n명의 단일 수요 구매자에게 판매할 때, 정적 게시 가격을 사용하는 것과 동적 가격을 사용하는 것 사이의 수익 손실을 분석한다. 구매자의 평가 가치가 i.i.d. 이며, 수익 손실의 날카운 가bound를 확립한다: 일반 분포의 경우 2−k/n이며, 정규 분포의 경우 약 1/(1−1/√(2πk))이다. 이는 비정규 분포의 경우 동적 가격 책정이 정적 가격의 두 배 수준의 수익을 올릴 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

We consider the problem of maximizing the expected revenue from selling $k$ homogeneous goods to $n$ unit-demand buyers who arrive sequentially with independent and identically distributed valuations. In this setting the optimal posted prices are dynamic in the sense that they depend on the remaining numbers of goods and buyers. We investigate how much revenue is lost when a single static price is used instead for all buyers and goods, and prove upper bounds on the ratio between the maximum revenue from dynamic prices and that from static prices. These bounds are tight for all values of $k$ and $n$ and vary depending on a regularity property of the underlying distribution. For general distributions we obtain a ratio of $2-k/n$, for regular distributions a ratio that increases in $n$ and is bounded from above by $1/(1-k^k/(e^{k}k!))$, which is roughly $1/(1-1/(\sqrt{2πk}))$. The lower bounds hold for the revenue gap between dynamic and static prices. The upper bounds are obtained via an ex-ante relaxation of the revenue maximization problem, as a consequence the tight bounds of $2-k/n$ in the general case and of $1/(1-1/(\sqrt{2πk}))$ in the regular case apply also to the potentially larger revenue gap between the optimal incentive-compatible mechanism and the optimal static price. Our results imply that for regular distributions the benefit of dynamic prices vanishes while for non-regular distributions dynamic prices may achieve up to twice the revenue of static prices.

연구 동기 및 목표

• k개의 동일한 상품과 n명의 단일 수요 구매자로 구성된 순차적 판매 설정에서 정적 가격을 사용하는 것과 동적 가격을 사용하는 것 사이의 수익 손실을 정량화하는 것.
• 기본 평가 가치 분포의 정규성에 따라 수익 격차가 어떻게 달라지는지 조사하는 것.
• 모든 k와 n에 대해 최적의 동적 수익과 최적의 정적 수익 간 비율에 대한 날카운 상한 경계를 확립하는 것.
• 사전 조건 완화 기법을 통해 유도된 경계가 최적의 인센티브 호환 메커니즘과 정적 가격 사이의 격차에도 적용된다는 것을 보여주는 것.
• 실제 적용에서 동적 가격 책정의 수익 증가 효과와 소비자 공정성 문제 간의 상호 영향을 고려하는 것.

제안 방법

• i.i.d. 평가 가치와 k개의 동일한 상품을 갖는 순차적 구매자 도착 조건 하에서 수익 극대화 문제를 수식화한다.
• 수익 극대화 문제의 사전 조건 완화를 통해 동적 수익 대 정적 수익 비율의 상한 경계를 유도한다.
• 극단적인 평가 가치를 갖는 이산 분포에서의 수익 행동을 분석하기 위해 베르슈타인 다항식 근사를 적용한다.
• ε→0 근처에서 경계의 날카움을 입증하기 위해 1과 kn/ε에 질량점을 갖는 특정 이산 분포를 구성한다.
• 집중 불등식과 尾확률 경계를 활용하여 동적 가격 책정 전략 하에서의 기대 수익을 평가한다.
• 이항분포의 성질과 볼록 함수 근사 기법을 활용하여 n≥⌈1/α⌉ 인 모든 n에 대해 상한 경계가 성립함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 k개의 동일한 상품과 n명의 구매자에 대해 최적의 동적 게시 가격 수익과 최적의 정적 게시 가격 수익 간의 최대 비율은 얼마인가?
• RQ2 이 수익 격차는 기저 평가 가치 분포의 정규성에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 수익 격차에 대한 경계는 최적의 인센티브 호환 메커니즘과 정적 가격 간 비교로 확장될 수 있는가?
• RQ4 k가 매우 커질 때 수익 격차의 渐近적 행동은 무엇인가, 특히 정규 분포와 비정규 분포 간의 차이는?
• RQ5 유도된 상한 경계는 얼마나 날카로운가, 그리고 명시적 구성 방법을 통해 실질적으로 달성될 수 있는가?

주요 결과

• 일반 분포의 경우, 동적 가격과 정적 가격 간 수익 격차는 최대 2−k/n이며, 이 경계는 모든 k와 n에 대해 날카롭다.
• 정규 분포의 경우, 수익 격차는 1/(1−1/√(2πk)) 이하로 제한되며, k가 증가함에 따라 渐近적으로 1에 수렴한다.
• 1/(1−1/√(2πk)) 경계는 동적 가격 대 정적 가격뿐 아니라 최적의 인센티브 호환 메커니즘과 정적 가격 간 격차에도 적용되며, 이 경계는 날카롭다.
• 비정규 분포의 경우, 극단적인 평가 가치 점을 갖는 극한 구성에 의해 동적 가격 책정이 정적 가격의 두 배 수준의 수익을 올릴 수 있음을 입증하였다.
• 정규 분포의 경우 수익 격차는 渐近적으로 사라지며, 이는 이러한 설정에서 동적 가격 책정의 수익 증가 효과가 점점 줄어듦을 의미한다.
• 분석 결과, 평가 가치 분포가 비정규일 때 수익 격차가 최대가 되며, 이는 가격 책정 전략 설계 시 분포 가정의 중요성을 강조한다.