[논문 리뷰] Reversible Cellular Automata as Integrable Interactions Round-a-Face: Deterministic, Stochastic, and Quantized

Tomaž Prosen|arXiv (Cornell University)|2021. 06. 02.

Quantum many-body systems참고 문헌 35인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 복원 가능한 세포자동우주(RCA) 규칙 54 및 201, 그리고 그들의 스토하스틱 및 양자 변형이 비균일한 별-삼각형 관계 해를 통해 상호작용 둘레면(IRF) 프레임워크를 이용해 통합 가능하다고 밝힌다. 이는 보존되고 상호 교환 가능한 연산자를 갖는 전이 행렬을 구성하고, 스펙트럼 통계를 통해 통합 가능성을 입증하며, 변형된 규칙 54 모델이 비록 전체적으로 통합 가능하지만 국소 보존량이 솔리톤 전류 하나뿐임을 드러낸다.

ABSTRACT

A family of reversible deterministic cellular automata, including the rules 54 and 201 of [Bobenko et al., Commun. Math. Phys. 158, 127 (1993)] as well as their kinetically constrained quantum (unitary) or stochastic deformations, is shown to correspond to integrable Floquet circuit models with local interactions round-a-face. Using inhomogeneous solutions of the star-triangle relation with a one or two dimensional spectral parameter, changing their functional form depending on the orientation, we provide an explicit construction of the transfer matrix and establish its conservation law and involutivity properties. Integrability is independently demonstrated by numerically exploring the spectral statistics via the Berry-Tabor conjecture. Curiously, we find that the deformed rule 54 model generically possesses no other local conserved quantities besides the net soliton current.

연구 동기 및 목표

• 복원 가능한 세포자동우주(RCA)와 상호작용 둘레면(IRF) 프레임워크를 통한 통합 모델 간의 연결을 수립하기 위해.
• 결정론적 RCA 규칙 54 및 201, 그리고 그들의 스토하스틱 및 양자 변형이 비균일한 별-삼각형 방정식 해를 통해 통합 가능하다는 것을 입증하기 위해.
• 이러한 모델들에 대해 광범위한 보존량과 상호 교환 가능한 연산자를 생성하는 전이 행렬을 구성하기 위해.
• 특히 변형된 규칙 54 모델에서 보존량의 성격을 조사하고, 스펙트럼 통계를 통해 통합 가능성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 국소 IRF 상호작용을 사용하여 RCA 규칙 54 및 201을 네 파rameter 가중치 가족의 운동학적 제약이 있는 양자**(Floquet)** 및 스토하스틱**(Markov)** 회로에 통합하기 위해.
• 방향에 따라 변화하는 스펙트럼 매개변수를 갖는 비균일한 별-삼각형 관계 해를 사용하여 전이 행렬을 구성하기 위해.
• 전이 행렬을 삼점 큐비트 구성에 작용하는 네 개의 $ 2\times2 $ 행렬 $ \{f_{kl}\} $ 에 의존하는 얼굴 가중치 $ (f_{kl})_i^j $ 의 곱으로 정의하기 위해.
• 전이 행렬 연산자의 보존성 및 본질적 성질을 증명하여 대수적 방법으로 통합 가능성을 확립하기 위해.
• 베리-타보 추측을 기반으로 한 수치적 스펙트럼 통계 분석을 통해 누적 수준 간격 분포 및 복소 수준 간격 비율을 분석하기 위해.
• 플로케트 전파자(Propagator)를 고정된 위상모멘텀 및 솔리톤 전류 영역에 투영하여 고유위상 통계를 분석하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복원 가능한 세포자동우주, 예를 들어 규칙 54 및 201는 국소 상호작용을 갖는 통합 IRF 프레임워크에 통합될 수 있는가?
• RQ2 운동학적 제약이 있는 양자 및 스토하스틱 변형된 RCA 규칙 54 및 201는 별-삼각형 관계를 통해 여전히 통합 가능성을 유지하는가?
• RQ3 변형된 규칙 54 모델에서 보존량의 구조는 어떠한가? 그리고 왜 국소 보존량이 솔리톤 전류 하나뿐인가?
• RQ4 변형된 모델의 스펙트럼 통계는 포아송 및 랜덤 매트릭스 군집과 어떻게 비교되는가? 이는 통합 가능성에 대해 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 전이 행렬 형식은 이 모델들에서 시간에 따라 변하는 관측량에 대한 정확한 해를 구성하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 변형된 규칙 54 모델은 전체적으로 통합 가능하지만 일반적으로 국소 보존량이 솔리톤 전류 하나뿐임을 보였다.
• 변형된 규칙 54 모델의 스펙트럼 통계는 포아송 과정과 일치하며, 베리-타보 추측에 기반한 통합 가능성의 지지를 받는다.
• 변형된 규칙 201 모델은 스펙트럼에 매크로스코픽한 degeneracy($ I_0 = 0.593 $) 를 보이며, 숨겨진 비아벨 양자 대칭성의 가능성을 시사한다.
• 변형된 규칙 150 모델은 위그너-디온드 유형의 스펙트럼 통계를 보이며, 이는 양자 혼돈을 나타내며, 규칙 54 및 201의 통합 행동과 대조된다.
• 복소수 변형은 모델에 따라 $ \mathrm{AI}^\dagger $ 랜덤 매트릭스 군집과 일치하는 스펙트럼 통계를 유도하며, 이는 모델에 따라 통합 가능성 또는 혼돈을 확인한다.
• 비균일한 별-삼각형 관계 해를 통해 구성된 전이 행렬은 비록 변형된 규칙 54의 경우 명백히 비국소적이지만, 광범위한 보존량과 상호 교환 가능한 연산자를 생성한다.