[논문 리뷰] Reversing unknown quantum transformations: A universal protocol for inverting general unitary operations

Marco Túlio Quintino, Qingxiuxiong Dong외 3명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 16.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 $d$-차원 단위행렬 연산 $U_d$ 를 $k$ 번 사용하여 일반적이고 확률적인 양자 프로토콜을 제시하며, 정확한 역행렬 $U_d^{-1}$ 를 얻는 데 실패 확률이 지수적으로 감소하도록 한다. 이 방법은 적응 전략을 사용하며, 정확한 역행렬을 얻기 위해 $k \geq d-1$ 가 필수적임을 증명한다. 이는 비확정적 인과 순서 조건에서도 마찬가지이며, 준정적 프로그래밍을 통해 비확정적 인과 순서 회로가 양자적 우월성을 제공함을 보여준다.

ABSTRACT

Given a quantum gate implementing a $d$-dimensional unitary operation $U_d$, without any specific description but $d$, and permitted to use $k$ times, we present a universal probabilistic heralded quantum circuit that implements the exact inverse $U_d^{-1}$, whose failure probability decays, exponentially in $k$. The protocol employs an adaptive strategy, proven necessary for the exponential performance. It requires $k\geq d-1$, proven necessary for exact implementation of $U_d^{-1}$ with quantum circuits. Moreover, even when quantum circuits with indefinite causal order are allowed, $k\geq d-1$ uses are required. We then present a finite set of linear and positive semidefinite constraints characterizing universal unitary inversion protocols and formulate a convex optimization problem whose solution is the maximum success probability for given $k$ and $d$. The optimal values are computed using semidefinite programming solvers for $k\leq 3$ when $d=2$ and $k\leq 2$ for $d=3$. With this numerical approach we show for the first time that indefinite causal order circuits provide an advantage over causally ordered ones in a task involving multiple uses of the same unitary operation.

연구 동기 및 목표

• 모르는 $d$-차원 단위행렬 $U_d$ 를 사전에 그 구조에 대해 알지 못한 채로도 정확한 역행렬을 구현할 수 있는 일반적이고 확률적인 양자 회로를 개발하는 것.
• 양자 회로를 사용하여 $U_d^{-1}$ 를 정확히 실행하기 위해 필요한 최소 사용 횟수 $k$ 를 결정하는 것.
• 비확정적 인과 순서 회로가 알려지지 않은 단위행렬 뒤집기 작업에서 인과적 순서 회로보다 우월한 성능을 낼 수 있는지 조사하는 것.
• 주어진 $k$ 와 $d$ 에 대해 최대 성공 확률을 계산하기 위한 볼록 최적화 문제를 수립하고 해결하는 것.

제안 방법

• 실패 확률 감소가 지수적일 수 있도록 보장하기 위해 적응 전략을 사용하여 반복적으로 뒤집기 과정을 정밀화하는 방법.
• 성공 여부를 고전적 신호로 알리는 화이트헤딩된 양자 회로를 구성하여 $U_d^{-1}$ 를 확률적으로 성공적으로 실행하는 방법.
• 사전 지식이 $d$ 차원 이외에는 필요 없으며, 모든 단위행렬 연산에 대해 작동하는 일반적인 프로토콜.
• 모든 가능한 일반적 단위행렬 뒤집기 프로토콜을 특징짓는 유한한 선형 및 정반정적 행렬 제약 조건의 집합을 유도하는 것.
• 이러한 제약 조건을 기반으로 볼록 최적화 문제를 수립하고, 준정적 프로그래밍을 통해 주어진 $k$ 와 $d$ 에 대해 최대 성공 확률을 계산하는 방법.
• 수치적으로 $d=2$ 일 때 $k \leq 3$ 과 $d=3$ 일 때 $k \leq 2$ 에 대해 평가하여 최적의 성공 확률을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모르는 $d$-차원 단위행렬 $U_d$ 를 양자 회로로 정확히 뒤집기 위해 필요한 최소 사용 횟수 $k$ 는 얼마인가?
• RQ2 비확정적 인과 순서 회로가 알려지지 않은 단위행렬 뒤집기 작업에서 인과적 순서 회로보다 성능상 우위를 점할 수 있는가?
• RQ3 주어진 $k$ 번의 사용으로 $U_d$ 를 뒤집을 수 있는 최대 성공 확률은 얼마이며, 이는 $k$ 와 $d$ 와 어떻게 상관관계를 가지는가?
• RQ4 단위행렬 뒤집기 과정에서 실패 확률이 지수적으로 감소하기 위해 적응 전략이 필수적인가?
• RQ5 일반적인 단위행렬 뒤집기 문제는 볼록 최적화 프레임워크로 완전히 특징지을 수 있는가?

주요 결과

• 프로토콜은 사용 횟수 $k$ 에 따라 실패 확률이 지수적으로 감소하는 방식으로 어떤 알려지지 않은 $U_d$ 를 정확히 뒤집는다.
• 정확한 뒤집기 구현을 위해 $k \geq d-1$ 가 필수적임을 증명하였으며, 이는 비확정적 인과 순서 조건이 허용되더라도 마찬가지이다.
• $d=2$ 일 때, 준정적 프로그래밍을 사용하여 $k \leq 3$ 에 대해 최적의 성공 확률을 수치적으로 계산하였으며, $k$ 가 증가함에 따라 지수적 향상이 나타남을 확인하였다.
• $d=3$ 일 때, $k \leq 2$ 에 대해 최적의 성공 확률을 계산하였으며, $k \geq d-1$ 가 필수적임을 확인하였다.
• 수치적 결과는 비확정적 인과 순서 회로가 인과적 순서 회로보다 단위행렬 뒤집기 과정에서 성능이 뛰어남을 보여주며, 이러한 우월성에 대한 첫 번째 명시적 증거를 제공한다.
• 볼록 최적화 프레임워크는 일반적인 단위행렬 뒤집기 프로토콜의 전체 집합을 완전히 특징지며, 최대 성공 확률을 정확히 계산할 수 있도록 한다.