[논문 리뷰] Review of deformation theory I: Concrete formulas for deformations of algebraic structures

Ai Guan, Andrey Lazarev외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 08.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 34인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 미분가환 리 및 미분가환 결합 대수를 통해 결합, 리, 프리-리, 리브니츠, 3-리 대수의 코homology 및 변형 이론에 대한 명시적 공식을 제공한다. 변형은 이러한 대수에서의 모어-카르탕 원소에 의해 지배되며, 코homology는 무한소 변형과 차단 요소를 통제한다.

ABSTRACT

In this review article, first we give the concrete formulas of representations and cohomologies of associative algebras, Lie algebras, pre-Lie algebras, Leibniz algebras and 3-Lie algebras and some of their strong homotopy analogues. Then we recall the graded Lie algebras and graded associative algebras that characterize these algebraic structures as Maurer-Cartan elements. The corresponding Maurer-Cartan element equips the graded Lie or associative algebra with a differential. Then the deformations of the given algebraic structures are characterized as the Maurer-Cartan elements of the resulting differential graded Lie or associative algebras. We also recall the relation between the cohomologies and the differential graded Lie and associative algebras that control the deformations.

연구 동기 및 목표

• 결합, 리, 프리-리, 리브니츠, 3-리 대수의 코homology 이론에 대한 구체적 공식을 제공하기 위해.
• 관련된 미분가환 리 또는 결합 대수에서의 모어-카르탕 원소를 사용하여 이러한 대수적 구조의 변형을 특성화하기 위해.
• 코homology와 변형을 통제하는 미분가환 대수 간의 연결 고리를 확립하기 위해.
• 이 대수들의 강한 호모토피 유사체(예: A∞ 및 L∞-구조)로의 프레임워크를 확장하기 위해.

제안 방법

• 모어-카르탕 원소가 대수적 구조를 암시하는 계량화된 리 및 결합 대수를 구성하기 위해.
• 모어-카르탕 원소에 의해 유도된 미분을 통해 결과적인 미분가환 대수에서 코homology를 정의하기 위해.
• 결합 대수의 경우 호크시즈드 복합체, 리 대수의 경우 셰바레일리-일렌버그 유사 복합체를 사용하기 위해.
• 호모토피 전달 및 유도된 괄호의 형식을 적용하여 결과를 A∞ 및 L∞-대수로 확장하기 위해.
• 변형된 미분가환 대수에서의 모어-카르탕 원소를 통해 A∞- 및 L∞-사상의 변형을 특성화하기 위해.
• 바-코바르 dualit 및 코프리미티브 코알제브라를 사용하여 호모토피 설정에서의 사상 및 모듈러 구조를 묘사하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본 복합체를 사용하여 결합, 리, 프리-리, 리브니츠, 3-리 대수의 코homology를 어떻게 명시적으로 계산할 수 있는가?
• RQ2 각 대수적 구조의 변형 이론을 통제하는 미분가환 리 또는 결합 대수는 무엇인가?
• RQ3 이 대수에서의 모어-카르탕 원소는 원래 구조의 변형을 어떻게 분류하는가?
• RQ4 코homology는 무한소 변형을 분류하고 장애를 탐지하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 이론은 A∞- 및 L∞-대수와 그 사상의 강한 호모토피 유사체로 어떻게 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 결합 대수의 코homology는 호크시즈드 복합체에 의해 지배되며, 이는 결합 곱에 의해 정의된 미분을 포함한다.
• 리 대수의 경우, 셰바레일리-일렌버그 복합체가 코homology 및 변형을 통제하며, 이는 리 괄호를 포함하는 미분을 포함한다.
• 결합 대수의 변형은 그 내부 사상 대수로부터 구성된 미분가환 리 대수에서의 모어-카르탕 원소에 대응한다.
• 프리-리 대수의 변형 복합체는 프리-리 곱을 통한 관련된 결합 대수의 호크시즈드 복합체와 동형이다.
• 리브니츠 대수의 경우, 비대칭 괄호를 포함하는 복합체가 셰바레일리-일렌버그 복합체의 일반화로서 코homology를 묘사한다.
• 논문은 A∞- 및 L∞-대수의 변형이 각각 미분가환 결합 및 리 대수에서의 모어-카르탕 원소에 의해 지배되며, 미분 d_f에 의한 명시적 트위스트가 있음을 확립한다.