[논문 리뷰] Review of the Onsager "Ideal Turbulence" Theory

Gregory L. Eyink|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 06.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 55인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 레이너-온사거의 '이상 난류' 이론—점성계수가 0인 극한에서 에너지 소산이 지속되는 현상—을 현대적인 재정규화군 개념과 보존법칙의 이상성에 기반해 접근적으로 설명한다. 비연속성에도 불구하고 에너지를 보존할 수 있는 특이한 허더-연속 속도장의 존재를 입증함으로써 난류에서의 에너지 소산 역설을 해결한다.

ABSTRACT

In his famous undergraduate physics lectures, Richard Feynman remarked about the problem of fluid turbulence: "Nobody in physics has really been able to analyze it mathematically satisfactorily in spite of its importance to the sister sciences". This statement was already false when Feynman made it. Unbeknownst to him, Lars Onsager decades earlier had made an exact mathematical analysis of the high Reynolds-number limit of incompressible fluid turbulence, using a method that would now be described as a non-perturbative renormalization group analysis and discovering the first "conservation-law anomaly" in theoretical physics. Onsager's results were only cryptically announced in 1949 and he never published any of his detailed calculations. Onsager's analysis was finally rescued from oblivion and reproduced by this author in 1992. The ideas have subsequently been intensively developed in the mathematical PDE community, where deep connections emerged with John Nash's work on isometric embeddings. Furthermore, Onsager's method has more recently been successfully applied to new physics problems, such as compressible fluid turbulence and relativistic fluid turbulence, yielding many novel testable predictions. This note will explain Onsager's exact analysis of incompressible turbulence using modern ideas on renormalization group and conservation-law anomalies, and it will also very briefly review subsequent developments.

연구 동기 및 목표

• 비압축성 유체에서 점성계수가 0이 되는 극한에서 에너지 소산이 발생하는 것을 분석한 온사거의 1949년 비공개 분석을 명확히 하여 오랫동안 간과당해 온 문제를 해결한다.
• 현대적인 재정규화군 이론과 비파erturbative 양자장론 개념을 활용해 현대 물리학자들이 이해할 수 있도록 온사거 이론을 재구성하고 설명한다.
• 무한한 레이놀즈 수에서 속도장의 특이성으로 인해 에너지 소산이 지속될 수 있음을 입증함으로써 유체역학에서 오랫동안 남아있던 역설을 해결한다.
• 압축성, 상대론적, 자기유체역학적 난류를 포함한 다양한 물리계통에 이 이론이 적용 가능하다는 점을 보여주어 이론의 적용 범위를 확장한다. 또한 코시의 순환 및 자기유체역학적 자기류 밀도와 같은 라그랑주 불변량에도 적용 가능하다.
• 허더-연속 속도장에 의해 입자 궤적이 비유일성이 되어 자발적 확률성이 발생하는 현상을 부각하며, 표면에서 벗어난 곳에서의 비정상적 스칼라 소산과 에너지 소산을 설명한다.

제안 방법

• 스케일 ℓ에서 블록스핀 정규화를 통해 정규화된 속도장을 정의함으로써 점성계수가 0인 극한에서 기울기가 발산하는 문제에 수학적으로 대처한다.
• 재정규화군 프레임워크를 적용하여 속도 구조 함수의 척도 행동을 분석하고, 척도 지수 ζp에 대한 정확한 경계를 유도한다.
• 모든 p ≥ 3에 대해 ζp ≤ p/3라는 핵심 부등식을 도출함으로써 고레이놀즈 수 난류에서 에너지 전이의 척도 국소성(스케일 로컬리티)을 증명한다.
• 부드러운 보존법칙이 특이한 속도장으로 인해 극한에서 실패하는 '보존법칙 이상성' 개념을 도입하며, 오일러 불변량을 넘어서 라그랑주 불변량으로까지 확장한다.
• 오일러 방정식의 허더-연속 해 이론을 활용하여 입자 궤적이 무한한 레이놀즈 수 극한에서 비유일성이 되어 자발적 확률성이 발생함을 보여준다.
• 존 내쉬의 등각 임bedding 정리와 같은 수학적 발전과 연계하여, 압축성 및 상대론적 유체역학 등 새로운 물리계통에 이 이론을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비압축성 유체에서 점성계수가 0이 되는 극한에서 에너지 소산이 어떻게 지속될 수 있는가? 이는 부드러운 오일러 해의 기대와 정면으로 배치된다.
• RQ2 어떤 수학적 조건이 속도장이 점성계수가 0인 극한에서 비영 에너지 소산을 가능하게 하는가? 이는 해의 정칙성과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 에너지, 헬리시티, 순환 등의 보존법칙은 어떻게 무한한 레이놀즈 수 극한에서 붕괴되며, 그 보존은 무엇으로 대체되는가?
• RQ4 비정상적 스칼라 소산의 물리적 메커니즘은 무엇이며, 이는 속도장의 특이성과 어떻게 연결되는가?
• RQ5 입자 궤적에서의 자발적 확률성 이론이 유체 및 플라즈마 난류에서의 비정상적 소산을 설명할 수 있는가?

주요 결과

• 온사거 이론은 속도장이 허더-연속이면서 지수 h ≤ 1/3일 경우 점성계수가 0인 극한에서도 비영 에너지 소산이 지속될 수 있음을 증명하며, 특이 행동에 대한 날카운 임계값을 설정한다.
• 속도 구조 함수의 척도 지수는 모든 p ≥ 3에 대해 ζp ≤ p/3를 만족하며, 이는 고레이놀즈 수 난류에서 에너지 전이가 척도에 국한되어 있음을 의미하고, 점성계수가 0인 극한에서 유한한 에너지 소산률 존재를 뒷받침한다.
• 허더-연속 벡터장에 대한 상미분 방정식의 해가 비유일성이 되어 입자 궤적에서 자발적 확률성이 발생하며, 이는 표면에서 벗어난 곳에서의 비정상적 스칼라 소산을 설명한다.
• 켈빈의 순환 및 알프레드의 자기유체역학적 자기류 밀도와 같은 라그랑주 불변량은 무한한 레이놀즈 수 극한에서 더 이상 결정론적으로 보존되지 않지만 마틴게일이 되며, 통계적 보존을 나타낸다.
• 이 이론은 압축성 및 상대론적 유체역학적 유체에서도 비정상적 소산을 예측하며, 이는 나비에-스토크스 방정식의 비압축성 흐름을 넘어서 적용 가능성을 넓힌다.
• 이 이론은 비파erturbative 기반의 엄밀한 이론적 틀을 제공하며, 수반된 가짜 폐쇄 방법 없이도 고레이놀즈 수 흐름을 분석할 수 있는 정확한 도구를 제공한다.