[논문 리뷰] Revisit the scheduling problem in Hurdle, V.F., 1973: An analytic solution approach

Wenbo Fan|arXiv (Cornell University)|2020. 08. 10.

Railway Systems and Energy Efficiency참고 문헌 9인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 Hurdle(1973)의 복잡한 스케줄링 문제를 비제약 변분 문제로 단순화하고 변분법을 통해 해를 구하는 분석적 해법을 제시한다. 최적의 피크기록 배차 빈도를 확인하고 최적의 차량 수를 유도함으로써 Hurdle의 작업을 완성하며, 다중 출발지/도착지 노선과 모듈러 버스에까지 이를 확장한다.

ABSTRACT

The scheduling problem in Hurdle (1973) was formulated in a more general form than other similar works in a sense of simultaneously concerning dispatching, circulating, fleet sizing, and queueing. As a constrained variational problem, it is more difficult to solve and remains not fully solved for decades. Relying on the technical prowess in graphic analysis, the author unveiled the optimal solution for the dispatches, but only suggested the lower and upper bounds of the optimal fleet size. Such graphic analysis is, however, unfriendly for the numerical computations of any specific problems. In light of this, the paper proposes an analytic solution approach that first relaxes the original problem to an unconstrained one and then attacks it using calculus of variations. The corresponding Euler-Lagrange equation confirms the original finding of the optimal peak-period dispatching rate. The optimal fleet size can also be solved. Numerical examples demonstrate the effectiveness of the proposed approach. This paper completes the work of Hurdle (1973) by formalizing a solution method. Based on that, we further make two extensions to the scheduling problem of a general bus line with multiple origins and destinations and that of mixed-size or modular buses. New insights are uncovered.

연구 동기 및 목표

• 배차, 차량 수 결정, 순환, 대기열을 통합하는 Hurdle(1973)의 제약 조건이 있는 변분 스케줄링 문제를 해결하는 데 오랫동안 남아 있던 과제를 해결한다.
• 기존 Hurdle의 도식적 분석의 한계를 극복하기 위해 수치적으로 다룰 수 있는 분석적 방법을 개발한다.
• 실제 스케줄링 문제에 적용 가능한 계산 기반의 해법 프레임워크를 체계화한다.
• 다중 출발지/도착지 노선과 혼합 크기 또는 모듈러 버스 운영을 포함한 일반 버스 노선으로 해법을 확장한다.

제안 방법

• 원래의 제약 조건이 있는 변분 문제를 최적화 과정을 단순화하기 위해 비제약 문제로 변환한다.
• 최적의 배차 정책을 지배하는 오일러-라그랑주 방정식을 도출하기 위해 변분법을 적용한다.
• 오일러-라그랑주 방정식을 활용해 Hurdle의 원래 결과인 최적 피크기록 배차 빈도가 타당함을 검증한다.
• 유도된 방정식을 해결하여 이전에는 도식적으로만 구한 최적의 차량 수를 정확히 도출한다.
• 수치적 예시를 통해 접근 방식의 효과성과 계산 가능성을 검증한다.
• 다중 출발지/도착지 네트워크와 모듈러 버스 구성에 대응할 수 있도록 분석 프레임워크를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Hurdle(1973)의 제약 조건이 있는 변분 스케줄링 문제는 어떻게 분석적으로 해결 가능한 형태로 재구성할 수 있는가?
• RQ2 피크기록 동안 최적의 배차 빈도는 무엇이며, 변분법을 통해 공식적으로 유도할 수 있는가?
• RQ3 기존에 도식적으로만 구한 상한과 하한으로만 알려진 최적의 차량 수를 분석적으로 결정할 수 있는가?
• RQ4 해법은 어떻게 다중 출발지/도착지 노선으로 확장될 수 있는가?
• RQ5 혼합 크기 또는 모듈러 버스 운영에 적용하기 위해 프레임워크에 어떤 수정이 필요한가?

주요 결과

• 분석적 접근을 통해 Hurdle의 원래 결과를 성공적으로 확인하였으며, 최적 피크기록 배차 빈도가 오일러-라그랑주 방정식에서 유도된 특정 시간에 따라 변하는 패턴을 따름을 입증하였다.
• 변분 해를 활용해 최적의 차량 수를 체계적으로 도출하였으며, 이로써 이전에 상한과 하한만 제공되었던 한계를 해결하였다.
• 수치적 예시를 통해 이 방법이 실제 스케줄링 문제에 효과적이고 계산적으로 실현 가능함을 입증하였다.
• 프레임워크는 다중 출발지/도착지 버스 노선으로 확장되어 단일 노선 시스템을 넘어서 보다 광범위한 적용 가능성을 확보하였다.
• 혼합 크기 또는 모듈러 버스를 수용할 수 있도록 방법이 확장되어, 융통성 있는 차량 배치 전략에 대한 새로운 통찰을 제공한다.
• 분석적 해법은 Hurdle의 도식적 접근에 비해 엄밀하고 재현 가능하며 계산 효율성이 높은 대안을 제공한다.