[논문 리뷰] Revisiting $k$-tuple dominating sets with emphasis on small values of $k$

Babak Samadi, Nasrin Soltankhah외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 29.

Digital Image Processing Techniques참고 문헌 18인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 작은 k, 특히 k=2에 초점을 맞춰 k-튜플 독립집합을 재검토한다. 이는 이중 슬레이터 수 sℓ×2(G)를 이중 독립수 γ×2(G)의 하한으로 도입하고, 4분할 그래프로 제한된 경우에도 등식 결정 문제의 NP-완전성을 증명하며, Cockayne와 Hedetniemi(1977)가 제기한 열린 문제를 해결하기 위해 전체 그래프를 완전히 특성화한다. 이는 특정한 간선 및 정점 구조를 가진 r-분할 그래프의 새로운 가족 Θ에 속하는 그래프이면, 그래프가 전체임을 보여줌으로써 달성된다.

ABSTRACT

For any graph $G$ of order $n$ with degree sequence $d_{1}\geq\cdots\geq d_{n}$, we define the double Slater number $s\ell_{ imes2}(G)$ as the smallest integer $t$ such that $t+d_{1}+\cdots+d_{t-e}\geq2n-p$ in which $e$ and $p$ are the number of end-vertices and penultimate vertices of $G$, respectively. We show that $\gamma_{ imes2}(G)\geq s\ell_{ imes2}(G)$, where $\gamma_{ imes2}(G)$ is the well-known double domination number of a graph $G$ with no isolated vertices. We prove that the problem of deciding whether the equality holds for a given graph is NP-complete even when restricted to $4$-partite graphs. We also prove that the problem of computing $\gamma_{ imes2}(G)$ in NP-hard even for comparability graphs of diameter two. Some results concerning these two parameters are given in this paper improving and generalizing some earlier results on double domination in graphs. We give an upper bound on the $k$-tuple domatic number of graphs with characterization of all graphs attaining the bound. Finally, we characterize the family of all full graphs, leading to a solution to an open problem given in a paper by Cockayne and Hedetniemi ($1977$).

연구 동기 및 목표

• 고립된 정점이 없는 그래프에서 γ×2(G)에 대한 하한으로서 이중 슬레이터 수 sℓ×2(G)를 설정하는 것.
• 주어진 그래프에 대해 sℓ×2(G) = γ×2(G)인지 여부를 결정하는 문제가 4분할 그래프로 제한된 경우에도 NP-완전임을 증명하는 것.
• d(G) = δ(G) + 1인 전체 그래프—즉, 전체 그래프—의 전체 특성화를 통해 Cockayne와 Hedetniemi(1977)가 제기한 열린 문제를 해결하는 것.
• k-튜플 독립다마틱 수 d×k(G)에 대한 상한을 제공하고, 이 상한에 등호가 성립하는 모든 그래프를 특성화하는 것.
• 비가역 그래프의 지름이 2인 경우, γ×k(G)를 계산하는 것이 k ≥ 2일 때에도 NP-난이도임을 보이는 것.

제안 방법

• sℓ×2(G)를 t + d1 + ... + dt − e ≥ 2n − p를 만족하는 최소 t로 정의하며, 여기서 e와 p는 끝정점과 끝에서 두 번째 정점이다.
• γ×2(G)-집합에 대해 차수 합과 이웃 수 계산을 이용하여 sℓ×2(G) ≤ γ×2(G)를 증명한다.
• sℓ×2(G)와 γ×2(G)의 등식 결정 문제를 3-Partition 문제로 환원하여 NP-완전성을 증명한다.
• 불등식 d×k ≤ (1 + √(1 + 4(2m − (k−1)n)/(kγ×k)))/2를 사용하여 d×k(G)에 대한 상한을 유도하며, 등호가 성립하는 것은 G가 특정한 정규 그래프 가족 Ψ에 속할 때뿐임을 보인다.
• 전체 그래프를 특성화하기 위해 특정한 간선 및 정점 구조를 가진 r-분할 그래프의 가족 Θ를 구성한다.
• 구조적 그래프 분석과 불등식의 등호 조건을 이용하여, G가 전체임을 보여주기 위해 G ∈ Θ이어야 함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이중 슬레이터 수 sℓ×2(G)는 항상 고립된 정점이 없는 모든 그래프에서 이중 독립수 γ×2(G)의 하한이 되는가?
• RQ2 주어진 그래프에 대해 sℓ×2(G) = γ×2(G)인지 여부를 결정하는 문제의 NP-완전성은 어떻게 증명되는가?
• RQ3 d(G) = δ(G) + 1인 전체 그래프의 가족은 완전히 특성화될 수 있는가?
• RQ4 k-튜플 독립다마틱 수 d×k(G)에 대한 가장 날카운 상한은 무엇이며, 어떤 그래프들이 이 상한에 도달하는가?
• RQ5 비가역 그래프의 지름이 2인 경우, γ×k(G)를 계산하는 것은 NP-난이도인가?

주요 결과

• 고립된 정점이 없는 모든 그래프에서 이중 슬레이터 수 sℓ×2(G)는 γ×2(G)의 유효한 하한이다.
• sℓ×2(G) = γ×2(G)인지 여부를 결정하는 문제는 4분할 그래프로 제한된 경우에도 NP-완전하다.
• k ≥ 2일 때, 지름이 2인 비가역 그래프의 경우 γ×k(G)를 계산하는 것은 NP-난이도이다.
• d×k(G)에 대한 상한은 d×k ≤ (1 + √(1 + 4(2m − (k−1)n)/(kγ×k)))/2로 주어지며, 등호가 성립하는 것은 G가 특정한 (kr−1)-정규 그래프 가족 Ψ에 속할 때뿐이다.
• 그래프 G는 d(G) = δ(G) + 1이면 전체 그래프임을 보여주기 위해 G ∈ Θ여야 하며, 여기서 Θ는 각 다른 파트의 한 정점에 고립된 정점을 연결하고, 교차 파트 독립을 보장하기 위해 간선을 추가하여 구성된 r-분할 그래프의 가족이다.
• 정규 그래프의 경우, 그래프가 전체이기 위한 필요충분조건은 (r+1)-분할이며, 각 G[Hi ∪ Hj]가 완전 매칭을 이룬다는 것이다. 이는 Zelinka(2005)의 결과를 새로운 형태로 확인한다.