[논문 리뷰] Revisiting Offspring Maxima in Branching Processes

George P. Yanev|ArXiv.org|2006. 10. 21.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 17인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 이민을 고려한 하향, 임계, 초임계 갈톤-워슨 과정에서의 최대 자손 수의 渐近적 행동을 재검토한다. 생성 함수와 극값 이론을 사용하여 최대 가족 규모 ${\cal M}_n$의 극한 법칙을 수립하며, 尾尾 등가성과 최대 영역의 접근성 조건 하에서 일반화된 극값 분포로 수렴함을 보이고, 기하, 음이이항, 파레토 자손 분포에 대해 명시적인 형태를 도출한다.

ABSTRACT

We present a progress report for studies on maxima related to offspring in branching processes. We summarize and discuss the findings on the subject that appeared in the last ten years. Some of the results are refined and illustrated with new examples.

연구 동기 및 목표

• 다양한 분기 과정 모델에서 최대 자손 수 ${\cal M}_n$의 渐近적 분포를 분석하는 것.
• 최대치에 포함된 i.i.d. 랜덤 변수의 수가 랜덤하고 자손 분포와 연결된 분기 과정에 대해 극값 이론을 확장하는 것.
• 이민이 있는 하향 및 임계 과정에서 ${\cal M}_n$의 극한 정리 유도, 포스터-페이크스 및 BGW 과정 포함.
• 두 유형의 분기 과정에서 尾尾 등가성과 최대 영역의 접근성의 영향을 조사하여 ${\cal M}_n$의 극한 분포에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 기하 및 파레토 분포와 같은 다양한 자손 분포 하에서 ${\cal M}_n$의 극한 분포 및 기대값의 명시적 표현 제공.

제안 방법

• 하향 과정에서 ${\cal M}_n$의 극한 분포를 특징짓기 위해 확률 생성 함수(p.g.f.s)를 사용하며, $\gamma(f(s)) = m\gamma(s) + 1 - m$과 같은 함수 방정식을 해결한다.
• 최대 영역의 접근성과 尾尾 등가성 개념을 적용하여 ${\cal M}_n$이 일반화된 극값 분포로 약한 수렴함을 도출한다.
• 이중 유형 과정에서 인구 규모의 이변량 극한 분포의 라플라스 변환을 사용하여 ${\cal M}_n^\zeta$의 극한 분포를 도출한다.
• 비교 및 스케일링을 위해 정규화 수열 $a(n)$과 $b(n)$을 도입하여 ${\cal M}_n$이 비퇴화 극한으로 수렴하도록 한다.
• 이민과 멸종 조건부를 처리하기 위해 지표 함수와 조건부 확률을 사용하며, 특히 포스터-페이크스 및 이민 수정 과정에서 적용한다.
• 이중 유형 분기 과정에서 두 유형의 개인에 대한 최대값을 분석하기 위해 이변량 극값 이론과 확률적 쌍용 기법을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비임계 갈톤-워슨 과정에서 멸종이 발생하지 않을 조건 하에 최대 자손 수 ${\cal M}_n$의 극한 분포는 무엇인가?
• RQ2 이민의 포함이 분기 과정에서 ${\cal M}_n$의 극한 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 두 유형의 임계 분기 과정에서 최대 자손 수가 비퇴화 극한으로 수렴하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 자손 분포에 대한 어떤 尾尾 조건이 ${\cal M}_n$이 일반화된 극값 분포로 수렴하도록 보장하는가?
• RQ5 두 유형 분기 과정에서 두 유형의 상대 크기가 최대 가족 규모의 극한 분포에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 기하 자손 분포를 가진 비임계 갈톤-워슨 과정에서 $\lim_{n\to\infty}P({\cal M}_n \leq k \mid Z_{n-1}>0) = \frac{(p-q)(1-q^{k+1})}{p - q(1-q^{k+1})}$, 여기서 $m = q/p < 1$.
• 음이이항 p.g.f. $\gamma(s) = \left(\frac{1-m}{1-ms}\right)^\nu$를 가진 이민 수정 과정에서 극한 확률은 $\left(\frac{1-m}{1-mF(x)}\right)^{\nu}$이며, $\lim_{n\to\infty}E{\cal M}^{im}_n \leq \frac{\nu m^2}{1-m}$.
• f(s) = (1+m - ms)^{-1} 및 g(s) = 1 - \frac{\mu}{m}\log(1 + m - ms)를 가진 포스터-페이크스 과정에서 극한은 $\lim_{n\to\infty}P({\cal M}^0_n \leq x) = \frac{m - \mu\log(1 - mF(x))}{m - \mu\log(1 - m)}$이며, $\lim_{n\to\infty}E{\cal M}^0_n = \mu \left(m + \sum_{k=0}^\infty \log\left(\frac{1}{1 - F(k)}\right)\right)$이다.
• 중요한 꼬리 분포(예: 파레토)를 가진 이중 유형 임계 분기 과정에서 $\lim_{n\to\infty}P\left(\frac{{\cal M}_n^\zeta}{\theta_1(v_1Bn)^{1/c}} \leq x \mid {\bf Z}(n) \neq {\bf 0}\right) = \left[1 + \left(1 + \frac{v_2}{v_1}\left(\frac{\theta_1}{\theta_2}\right)^{-c}\right)x^{-c}\right]^{-1}$.
• 로지스틱 및 지수 자손 분포에서 동일한 정규화 상수를 사용할 경우 극한은 $\left[1 + \left(1 + \frac{v_2}{v_1}\right)e^{-x}\right]^{-1}$이며, ${\cal M}_n^\zeta - \log(v_1Bn)$에 대해 로지스틱 극한 분포를 보인다.
• 이중 유형 과정에서 ${\cal M}_n^\zeta$의 극한 분포는 $\left[1 + h(x,\theta) + \frac{v_2}{v_1}h(cx + d, \theta)\right]^{-1}$이며, 여기서 $h(x,\theta)$는 표준 굼벨 분포의 위험 함수이다.