[논문 리뷰] Revisiting Shor's quantum algorithm for computing general discrete logarithms

Martin Ekerå|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 22.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 이산 로그를 계산하기 위한 쇼어의 양자 알고리즘을 재검토하며, 약간의 양자 군 연산 증가와 제한된 고전적 후처리 검색을 통합함으로써 단일 실행에서 성공 확률을 크게 향상시켜 99%를 초과하는 수정된 방법을 제안한다. 이 방법은 반고전적 푸리에 변환과 제어 큐비트 재사용을 활용하며, 히우리스틱 분석을 통해 군의 순서 r이 증가함에 따라 성공 확률이 1에 수렴함을 보여준다.

ABSTRACT

We heuristically show that Shor's algorithm for computing general discrete logarithms achieves an expected success probability of approximately 60% to 82% in a single run when modified to enable efficient implementation with the semi-classical Fourier transform. By slightly increasing the number of group operations that are evaluated quantumly and performing a single limited search in the classical post-processing, or by performing two limited searches in the post-processing, we show how the algorithm can be further modified to achieve a success probability that heuristically exceeds 99% in a single run. We provide concrete heuristic estimates of the success probability of the modified algorithm, as a function of the group order $r$, the size of the search space in the classical post-processing, and the additional number of group operations evaluated quantumly. In the limit as $r \ ightarrow \\infty$, we heuristically show that the success probability tends to one. In analogy with our earlier works, we show how the modified quantum algorithm may be heuristically simulated classically when the logarithm $d$ and $r$ are both known. Furthermore, we heuristically show how slightly better tradeoffs may be achieved, compared to our earlier works, if $r$ is known when computing $d$. We generalize our heuristic to cover some of our earlier works, and compare it to the non-heuristic analyses in those works.

연구 동기 및 목표

• 단일 실행에서 이산 로그를 계산하기 위한 쇼어의 양자 알고리즘의 성공 확률을 향상시키는 것.
• 반고전적 양자 푸리에 변환과 제어 큐비트 재사용을 사용하여 효율적인 구현을 가능하게 하는 것.
• 군의 순서 r, 검색 공간 크기, 추가적인 양자 연산을 함수로 하는 성공 확률의 히우리스틱 추정치를 제공하는 것.
• 군의 순서 r이 알려져 있는 경우와 알려지지 않은 경우에 양자 자원과 고전 자원 간의 트레이드오프를 비교하는 것.
• 히우리스틱 분석을 이전의 비히우리스틱 연구들과 비교하여 일반화하고 검증하는 것.

제안 방법

• 원래 쇼어 알고리즘을 수정하여 반고전적 양자 푸리에 변환을 사용함으로써 양자 자원 요구량을 감소시킴.
• 측정 결과를 수정하고 성공 확률을 높이기 위해 제한된 고전적 후처리 검색(일반적으로 1개 또는 2개)을 도입함.
• 큐비트 오버헤드를 줄이고 회로 효율성을 향상시키기 위해 제어 큐비트 재사용을 활용함.
• 유리수 근사의 분수 부분에 대한 균일 분포 가정에 기반한 히우리스틱 분석을 수행함.
• 군의 순서 r, 양자 군 연산 수, 고전적 검색 공간 크기의 함수로 성공 확률 추정치를 유도함.
• 중복되는 매개변수 영역에서 이전의 정확한 분석 [6, 7, 8]과의 수치적 검증을 통해 히우리스틱 결과의 타당성을 확인함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쇼어의 이산 로그 알고리즘을 수정하여 단일 실행에서 99% 이상의 성공 확률을 달성할 수 있는가?
• RQ2 추가적인 양자 군 연산과 고전적 후처리 검색의 증가에 따라 성공 확률은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 군의 순서 r이 알려져 있을 경우, 양자 자원과 고전 자원 간의 트레이드오프는 어떻게 달라지는가?
• RQ4 히우리스틱 성공 확률 모델은 이전의 비히우리스틱 분석과 비교하여 어떻게 다른가?
• RQ5 히우리스틱 모델을 짧은 이산 로그를 위한 이전 알고리즘으로 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 반고전적 QFT와 제어 큐비트 재사용을 사용할 경우, 수정된 알고리즘은 단일 실행에서 약 60%에서 82%의 성공 확률을 달성한다.
• 양자 연산을 약간 증가시키고 하나의 제한된 고전적 검색을 수행함으로써, 히우리스틱적으로 성공 확률이 99%를 초과한다.
• 한 개의 검색 대신 두 개의 제한된 고전적 검색을 사용할 경우 성공 확률이 더욱 향상되어 군의 순서 r이 증가함에 따라 100%에 가까워진다.
• r → ∞의 극한에서, 히우리스틱 모델에 따르면 수정된 알고리즘의 성공 확률은 1에 수렴한다.
• r가 알려져 있을 경우, 이전의 연구들에 비해 더 나은 양자-고전 자원 트레이드오프를 달성할 수 있다.
• 수치적 검증을 통해 d ~ √r 영역에서 히우리스틱 분석과 정확한 분석 [7] 간의 일치를 확인하였으며, 모델의 정확성이 중복 영역에서 검증됨을 입증한다.