[논문 리뷰] Revisiting the Lie-group symmetry method for turbulent channel flow with wall transpiration

George Khujadze, Michael Frewer|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 27.

Fluid Dynamics and Turbulent Flows참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 벽 전류를 고려한 난류 채널 흐름에 적용된 리-군 대칭 방법을 철저히 재평가하며, Avsarkisov 등(2014)에서 제안한 핵심 영역 내 유일한 로그 스케일링 법칙이 그들의 DNS 데이터로부터 재현될 수 없음을 입증한다. 저자들은 대칭 분석이 물리적으로 비합리한 통계적 대칭성으로 인해 인과성 원칙을 위반하여 일관성이 없음을 보이며, 타당한 대칭 프레임워크를 확립하기 위해 점성 항을 포함시켜야 한다고 밝힌다. 이는 이전 결과들의 보편성과 이론적 기반을 뒤엎는다.

ABSTRACT

The Lie-group-based symmetry analysis, as first proposed in Avsarkisov et al. (2014) and then later modified in Oberlack et al. (2015), to generate invariant solutions in order to predict the scaling behavior of a channel flow with uniform wall transpiration, is revisited. By focusing first on the results obtained in Avsarkisov et al. (2014), we failed to reproduce two key results: (i) For different transpiration rates at a constant Reynolds number, the mean velocity profiles (in deficit form) do not universally collapse onto a single curve as claimed. (ii) The universally proposed logarithmic scaling law in the center of the channel does not match the direct numerical simulation (DNS) data for the presented parameter values. In fact, no universal scaling behavior in the center of the channel can be detected from their DNS data, as it is misleadingly claimed in Avsarkisov et al. (2014). Moreover, we will demonstrate that the assumption of a Reynolds-number independent symmetry analysis is not justified for the flow conditions considered therein. Only when including also the viscous terms, an overall consistent symmetry analysis can be provided. This has been attempted in their subsequent study Oberlack et al. (2015). But, also the (viscous) Lie-group-based scaling theory proposed therein is inconsistent, apart from the additional fact that this study of Oberlack et al. (2015) is also technically flawed. The reason for this permanent inconsistency is that their symmetry analysis constantly involves several unphysical statistical symmetries that are incompatible to the underlying deterministic description of Navier-Stokes turbulence.

연구 동기 및 목표

• Avsarkisov 등(2014)의 핵심 결과, 특히 벽 전류가 있는 난류 채널 흐름의 핵심 영역에서 제안된 보편적인 로그 스케일링 법칙을 재현하고 비판적으로 평가하는 것.
• Avsarkisov 등(2014)에서 주장한 레이놀즈 수에 독립적인 대칭 분석의 타당성을 직접 수치 시뮬레이션(DNS) 데이터의 맥락에서 검토하는 것.
• Avsarkisov 등(2014)과 Oberlack 등(2015)의 대칭 분석이 결정론적 나비에-스토크스 방정식과 충돌하는 물리적으로 비현실적인 통계적 대칭성을 포함하고 있어 인과성 원칙을 위반한다는 것을 보여주는 것.
• 이론적 스케일링 법칙과 DNS 데이터 간의 일치가 실패함을 보이며, 특히 스칼라 소산률의 경우 이론적 예측과 데이터 간의 불일치가 근본적인 모순을 드러낸다는 것.
• 일致한 대칭 분석을 위해 점성 항을 포함시켜야 하며, 이전 접근법이 잘못된 점근적 가정과 대칭 제약 조건으로 인해 기술적으로 오류가 있음을 입증하는 것.

제안 방법

• Avsarkisov 등(2014)에서 제시한 벽 전류가 있는 난류 채널 흐름의 두점상관(TPC) 방정식에 대한 리-군 대칭 분석을 재검토하였으며, 점성 항이 없는 경우(ν = 0)에 중점을 두었다.
• TPC 방정식의 세 가지 스케일링 대칭과 두 가지 이동 대칭을 바탕으로 핵심 영역 내 제안된 보편적인 로그 스케일링 법칙의 유도를 재구성: $\bar{U}_1 = A_1 \ln\left(\frac{x_2}{h} + B_1\right) + C_1$.
• 이론적 스케일링 법칙과 DNS 데이터 간의 일치를 재평가하였으며, 특히 보정 형식: $\frac{\bar{U}_1 - C_1}{u_\tau} = \frac{1}{\gamma}\ln\left(\frac{x_2}{h} + B_1\right)$로 표현된 경우를 중심으로 분석하였으며, 제안된 보편적 값 $\gamma = 0.3$, $B_1 = 0$, $C_1 = U_B$를 사용하였다.
• 차원 일관성 검토를 수행하였으며, Avsarkisov 등(2014)에서 $B_1$ 정의에 $1/h$ 인자가 누락되어 있어 차원적으로 잘못되었다는 점을 밝혀냈다.
• DNS 데이터와 비교하기 위해 $u_\tau$-정규화된 변수에서 난류가 아닌 흐름 해를 재구성하였으며, 정확한 해를 유도: $\hat{U}_1^+(x_2') = \frac{x_2'}{v_0^+} - \frac{2}{v_0^+} \frac{e^{v_0^+ Re_\tau x_2'} - 1}{e^{2v_0^+ Re_\tau} - 1}$.
• 차원적 변수와 정규화된 변수 간의 관계를 유도하였으며, $v_0 / U_B^* = v_0^{+2} \cdot \frac{v_0^+ Re_\tau}{v_0^+ Re_\tau \cdot \coth(v_0^+ Re_\tau) - 1}$임을 보였으며, 이는 $Re_\tau \to \infty$일 때 $v_0^{+2}$로 수렴함을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Avsarkisov 등(2014)에서 제시한 벽 전류가 있는 난류 채널 흐름의 핵심 영역 내 주장된 보편적인 로그 스케일링 법칙이 그들의 DNS 데이터로부터 재현될 수 있는가?
• RQ2 Avsarkisov 등(2014)에서 주장하는 레이놀즈 수에 독립적인 대칭 분석은 타당한가, 아니면 점성 항의 점근적 행동에 대한 잘못된 가정에 기반한 것인가?
• RQ3 Avsarkisov 등(2014)과 Oberlack 등(2015)의 대칭 가정은 물리적으로 비현실적인 통계적 대칭성을 도입하여 고전적 인과성 원칙을 위반하는가?
• RQ4 이론적 예측과 제안된 프레임워크 내에서 DNS 데이터 간의 스칼라 소산률은 어떻게 비교되는가? 이는 스케일링 법칙 정확도의 핵심 지표이다.
• RQ5 벽 전류가 있는 난류 채널 흐름에 대해 일관된 리-군 대칭 분석을 구축할 수 있는가? 그리고 이는 점성 항의 포함을 필요로 하는가?

주요 결과

• 같은 레이놀즈 수에서 다양한 전류 속도를 가진 경우, 보정 형식의 평균 속도 프로파일이 보편적으로 하나의 곡선에 수렴하지 않으며, 이는 Avsarkisov 등(2014)의 보편성 주장과 모순된다.
• 핵심 영역 내 제안된 보편적인 로그 스케일링 법칙은 DNS 데이터와 일치하지 않으며, 주어진 매개변수 값에서 채널 중심부에서 보편적인 스케일링 행동을 관찰할 수 없다.
• 군 상수에서 유도된 이론적 값 $A_1 = k_{\bar{U}_1}/k_1$는 DNS에 적합한 값 $A_1 = u_\tau / \gamma$와 일치하지 않으며, 이는 마찰 속도 $u_\tau$에 의존하므로 군 상수의 독립성 원칙을 위반한다.
• Avsarkisov 등(2014)의 대칭 분석은 순수하게 점성 항이 없는(에우러) 경우 $\nu = 0$에 기반한 것이며, 이는 그들이 주장한 바와 같이 $\nu \to 0$에 대한 사전 특이 점근적 분석이 아니라는 점이다.
• 이론적으로 예측된 스칼라 소산률은 DNS 데이터와 일치하지 않으며, 이는 제안된 스케일링 법칙의 예측 능력에 근본적인 실패가 있음을 시사한다.
• Oberlack 등(2015)에서 제안한 점성 리-군 기반 스케일링 이론은 기술적으로 오류가 있으며 일관성이 없으며, 주로 인과성 원칙을 위반하고 나비에-스토크스 방정식의 결정론적 기술과 충돌하는 물리적으로 비현실적인 통계적 대칭성 때문임을 밝혀냈다.